極大・極小の問題?!

質問

問「実数係数のｘの三次関数 f(x)=x^3 + ax^2 + bx が x=α で極大値　　をとり、x=β＞0 で極小値0 をとるとする。このとき、

　　(1)　β/αの値を求めよ
　　(2)　f(α)=f(γ),α≠γのとき γ/αの値を求めよ
　　(3)　ｆ(α)=4　ならば,a,bの値はいくらか　　　　　」

一応解法と答えはわかっているのですが、他にも解法がないかきになったので、皆さんの解法を参考にさせてください。

回答No.2

info22

(1)
この手の問題は大きく異なる別解は無いでしょう。
ちょっとだけ異なる別解なら
f(x)=x(x-β)^2=x^3-2βx^2+(β^2)x
=x^3+ax^2+bx …(C)
から
β^2 =b…(A)
f'(x)=3x^2+2ax+b=3(x-α)(x-β)
　　 =3x^2-3(α+β)x+3αβ
αβ=b/3…(B)
(A)/(B)より
β/α=3 …(D)

(2)
解法としては効率的に良い方法ですね。

> 3α=α+2γ/3 ∵(1)
2α=2γ/3
α=γ/3
なので
>γ/α=4
これは間違いで
γ/α=3
ですね。

(3)
(C)から
a=-2β=-6α…(E) (∵(D))
f(α)=α(α-β)^2=4α^2=4 (∵(D))
α=β/3>0 ∴α=1,β=3

(E),(A)から
a=-6,b=9

回答No.1

info22

>一応解法と答えはわかっているのですが、
解答が書いてないので、他の解法と区別できません。
まず、分かっている解法の計算過程と答えを補足にお書き下さい。

>皆さんの解法
回答者は皆さんではなく、互いに関係の無い一人ひとり、関係の無い個人、個人の回答者で、一束一絡げの集団ではありません。

補足

ご指摘ありがとうございます。

(1) y=f(x)はx=0でx軸と交わる
　 x=βで極小値０を取るのではで軸と接する

　⇔y=f(x)はx=0を解、x=βを重解にもつ
　⇔f(x)=x(x-β)^2とおける

f'(x)=0の２解がα,β
　f'(x)=(3x-β)(x-β)

f'(x)=0となるのは x=β/3,x=β

　α≠β　よってα=β/3
　β/α=3

(2)y=f(x)とy=kがx=αで接し、x=γで交わると考えると

　f(x)=k はx=αを重解、x=γを解に持つ
　⇔f(x)-k=(x-α)^2(x-γ)とおける

f'(x)=0の２解がα,β
　f'(x)=(x-α){3x-(α+2γ)}

f'(x)=0となるのはx=α,x=α+2γ/3

α≠β よってβ=α+2γ/3

3α=α+2γ/3 ∵(1)

γ/α=4

(3)f(x)=x(x-β)^2
=x(x-3α)^2

f(α)=4α^3=4
よって α=1

f(x)=x(x-3)^2
=x^3-6x^2+9

a=-6,b=9