極小値、極大値の問題

質問

どうやって解けばよいのか分かりません。教えてください。
（１）３次関数 y=x^3+px が x=1 で極小値をとるとき、
極大値を与える x の値を求めよ。

まずは微分して、増減表書いたらいいんでしょうか？
でもそこからどうしたらいいのか分からないんです。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

akeboshiさん、こんにちは。

＞（１）３次関数 y=x^3+px が x=1 で極小値をとるとき、
極大値を与える x の値を求めよ。

これは、まず導関数y'をとります。
y'=3x^2+p
ですね。このとき、ｘ＝１でy=x^3+px　が極小値を取りますから
y'=3x^2+p
において、ｘ＝１を代入すれば、０になります。
よって、p=-3
y'=3x^2=3
=3(x+1)(x-1)
となり、増減表は

x ... -1 ... 1 ...
------------------------
y' + 0 - 0 +
-----------------------
y ... 2 ... -1

となりますね。
（ｙ’が＋のとき、ｙは右上矢印、ｙ’がーのとき、ｙは右下矢印です）

したがって、y=-1のとき、極大値2　を取ります。
ご参考になればうれしいです。

お礼

回答ありがとうございます！分かりやすくて勉強になりました。

回答No.2

kunicci

y=f(x)として、
f(x)=x^3+pxがx=1で極小値をとる⇔極値の傾きは０なので、f'(1)=0
f'(x)=3x^2+p
f'(1)=3+p=0・・・（１）
（１）より、p=-3
よって、f(x)=x^3-3x・・・（２）と書ける。
（２）より、f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=0とおくと、x=±1
（ここで増減表を書く）
よって極大値はx=-1のときとり、その値は2。

以上。
計算間違いなどがあるかもしれませんが、こんな感じですかね。

お礼

とても分かりやすい回答ありがとうございます！

回答No.1

eatern27

y'=3x^2+pにx=1を代入するとy'=0になることからpを求めて、
それをもとにy'=0となるときのxの値（x=1以外）を求めます。（ここで増減表を書いて、その値で極大値を与えることを確認した方がいいかも）その値が極大値を与える、と書きます。

ですが、
x=1で極小値をとり、y=x^3+pxは原点対称だからx=-1の時、極大となる。
ぐらいでも、問題によっては減点されないかもしれません。

お礼

早速の回答ありがとうございます！
とても助かりました。