微分の極大値と極小値の問題。

質問

kを実数の定数とする。関数f(x)=2x^3+3x^2+6kxが極大値と極小値をもち、その差が8であるように、kの値を求めよ。

という問題で、解答は

これの導関数f'(x)=x^2+x+k=0・・・(1)
が異なる実数α、β(α<β）をもち、
f(α)-f(β)=8・・・(2)
となるのが条件である。
ここで、三次式f(x)を(1)のx^2+x+kで割ることにより・・・(3)
　f(x)=(x^2+x+k)(2x+1)+(4k-1)x-k
と書けることに注目すると、
　f(α)=(4k-1)-k
f(β)=(4k-1)-k
となるので、条件(2)は(4k-1)(α-β)=8・・・(2)'
と書ける。

と、まだもう少し続き、(1)からαとβを求め、
αーβ=ー√1-4kであるので、(2)'は(1-4k)√1-4k=8となり、k=-3/4となる。
ここまでが解答です。

なぜ(3)のところでf(x)を導関数f'(x)で割ったのか教えてください。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

分かりにくければ、数値を求める問題で、例えば

x＾2＋3x＋1＝0の時、x＾3＋3x＾2＋6x＋5の値を求めよ。

x＾3＋3x＾2＋6x＋5をx＾2＋3x＋1で割って、x＾3＋3x＾2＋6x＋5＝x*（x＾2＋3x＋1）＋5（x＋1）＝5（x＋1）として、値を求めた経験がないか？
それと同じ事をやってるに過ぎない。x＾2＋3x＋1＝0に着目した解という事だ。

お礼

なぜそうなるのかようやく理解できました。別解まで示していただきありがとうございました。

回答No.3

owata-www

まあ、＃１、２さんの解説で十分かと思いますが、あえてもう少し説明すると

f(x)=(x^2+x+k)(2x+1)+(4k-1)x-k=f '(x)(2x+1)+(4k-1)x-kだから、
f(α)=f '(α)(2α+1)+(4k-1)α-k=(4k-1)α-k（(1)よりf '(α)=0のため）
同様に、f(β)=(4k-1)β-k

と出ます。

お礼

ようやく理解できました。ありがとうございました。

回答No.1

mister_moonlight

＞なぜ(3)のところでf(x)を導関数f'(x)で割ったのか教えてください。

2x^3+3x^2+6kx＝(x^2+x+k)(2x+1)+(4k-1)x-kは全てのxに対して成立する恒等式だから。
x^2+x+k＝0であるから、f(α)＝(4k-1)α-kとなるだけ。

これは、なかなか巧妙な方法だが、orthodoxには、
f(α)-f(β)＝2（α＾3－β＾3）-3（α＾2-β＾2）-6k（α－β）＝8として、α＋β＝-1、αβ＝kを代入すると良い。