微分の問題

質問

3次関数f(x)=x^3-ax^2+ax-3aがあり、g(x)＝f(x)-xf´(x)とする。ただしaを定数とする。

(1)g(x)を求めよ。
g(x)=-2x^3+ax^2-3a

(2)a＞0とする。g(x)の極大値、極小値をaを用いて表せ。
極大値(5/27)a^2-3a
極小値-3a

(3)a≠0とする。方程式g(x)＝0が異なる2つの実数解をもつとき、定数aの値とその時の実数解を求めよ。

(1)(2)はあってますか？
また、この問題の（３）を教えてください。

回答No.1

hermite · ベストアンサー

(1)はあってると思います。
(2)は、極大値が(1/27)*a^3-3aになりました。たぶん計算ミスです。
(3)は実数解を２つもつとき、ということですので、グラフから考えるのが楽でしょう。

g(x)は3次関数なので3つの解を持ちます。実数解を2つもつということは、そのとき重解とそれと異なる実数解を持つ、ということです。（3次関数のグラフにx軸と平行な横線y=kを入れてみましょう）

上の条件を満たすためには、y=0（x軸）との交点は、いずれかの極値である必要があるとわかります。あとは、(2)の答えを考えてもらえれば解けます。

補足

(3)は場合分け不要で
極値=0を２つとけばいいんでしょうか？

回答No.4

take_5

しまった、4つめがあった。。。。。笑

(4)　3つの重解を持つ場合。

回答No.3

take_5

＞(3)は場合分け不要で極値=0を２つとけばいいんでしょうか？

3次方程式が解を持つ場合は
(1)　相異なる3つの実数解を持つ場合　‥‥ x軸と相異なる3つの交点を持つ
(2)　1つは重解（従って、この場合は解は2個）になり、他の1つはそれと異なる場合　‥‥　極大値か極小値のどちらかがx軸で接し、もう1つはx軸とその重解と異なる交点を持つ
(3)　実数解は1つで、あとの2つは共役の複素数解の場合　‥‥　x軸との交点が1つのみの場合

しかない。従って、この場合は(2)に該当する。

a＞0より、極小値＝-3a＜0よりこれは成立しない。よって、　極大値：(1/27)a^3-3a＝0より、a＞0よりa＝±9.
後は、その時の実数解を求めると良い。

回答No.2

kumipapa

(1)　g(x) = -2x^3 + ax^2 - 3a
(2), (3)
g ' (x) = -6x^2 + 2ax = 0 を解くと
-2 x (3x - a) = 0
x = 0, x = a/3
a ＞ 0 のとき g(x) は x = 0 で極小、x = a/3 で極大
a ＜ 0 のとき g(x) は x = 0 で極大、x = a/3 で極小
g(0) = -3a ≠ 0 より、g(x) = 0 が異なる2つの実数解を持つのは、g(a/3) = 0 のとき
g(a/3) = a^3/27 - 3a = 0 を解くと
a(a^2 - 81) = 0
a≠0 より a = ± 9 で g(x)=0 の重解は x = a/3 = ± 3
a = 9 のとき　g(x) = -2x^3 + 9x^2 - 27 = -(x-3)^2 (2x + 3)
a = -9 のとき g(x) = -2x^3 - 9x^2 + 27 = -(x+3)^2 (2x - 3)
より、
a = ±9 で２つの異なる実数解をもち、解は a = 9 のとき x = -3/2, 3、 a = -9 のとき x = -3, 3/2

x = 0 が g(x) = 0 の解になるときは、実数解が１つだけになってしまうことを確認してください。