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数III 微分の質問です。
関数f(X)=2x+(ax/x²+1) が極大値と極小値をそれぞれ2つずつもつような定数aの値の範囲を求めよ。 ・・・という問題なのですが、「f(x)が極大値と極小値を2つずつもつような条件」というのが教科書やチャートにも載っておらず、また先生の解説を聞いても、よく分かりません。どなたか教えて頂けないでしょうか?
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その f(x) は、実数全域で微分可能なので、 f(c) が極値であるような c については f'(c)=0 でなくてはなりません。 そのため、「f(x)が極大値と極小値を2つずつもつ」ことの必要条件として、 f'(x)=0 が解 x を 4 個持たなくてはならない。 f(x)=(xの3次式)/(x^2+1) ですから、商の微分法則によって f'(x)=(xの4次式)/(x^2)^2 となります。分子の4次式を具体的に計算し、 分子=0 が実数解を 4 個持つ条件を求めてみましょう。 その 4 個の解の近傍で、f'(x) の符号が、(+)→(-) と変わるもの 2 個、 (+)→(-) と変わるもの 2 個になっていれば十分です。 分子の4次関数のグラフを考えれば、判定できますね。
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- alice_44
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概ね、それでよいが、 f'(x)=0 が 4 個の解を持つことは、 必要条件に過ぎない。 A No.1 に書いた如く、十分性の確認は要る。 例えば、f(x)=∫(xの2乗)(x-1)(x-2)(x-3)dx のとき、何が起こる?
- yyssaa
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>f(x)が極大値と極小値を2つずつもつということは、f'(x)=0が 異なる4個の実数解をもつということ。 f(x)=2x+ax/(x^2+1)={2x^3+(a+2)x}/(x^2+1) f'(x)=[(x^2+1)(6x^2+a+2)-2x{2x^3+(a+2)x}]/(x^2+1)^2 =[(x^2+1)(6x^2+a+2)={2x^4+(4-a)x^2+a+2}/(x^2+1)^2 (x^2+1)^2≠0なので、2x^4+(4-a)x^2+a+2=0が異なる4個の実数解を もつためには、x^2=yと置き換えた2y^2+(4-a)y+a+2=0が異なる2個の 正の実数解をもたなければならない。そのためには 2y^2+(4-a)y+a+2=2{y^2+(4-a)y/2}+a+2 =2{y+(4-a)/4}^2+a+2-(4-a)^2/8=2{y+(4-a)/4}^2+(16a-a^2)/8 から(16a-a^2)/8<0が必要で、かつyの解のうちの小さい値が正、 [-(4-a)-√{(4-a)^2-8(a+2)}]/4>0が必要。 (16a-a^2)/8<0からa(16-a)<0、a<0または16<a・・・・・(ア) [-(4-a)-√{(4-a)^2-8(a+2)}]/4>0から{-(4-a)-√(a^2-16a)}>0 -(4-a)>√(a^2-16a)、左辺>0から4<a・・・・・(イ) 二乗して16-8a+a^2>a^2-16a、a>-2・・・・・(ウ) よって定数aの値の範囲は(ア)(イ)(ウ)から16<a・・・答