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数学II

関数 f(x)=x^3-ax^2-3ax+2 の極大値と極小値の差が32となるように、定数aの値を求めよ。   この解き方を教えてください。 答: a=-12,3

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f´(x)=3x^2-2ax-3a=0の2解をα、β(α>β)とすると、解と係数から α+β=2a/3、αβ=-a ‥‥(1) f(β)>f(α)から f(β)-f(α)=32. これを(1)を使って計算すると、(α-β)*(a^2+9a)=288 ‥‥(2) 又 (α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=4(a^2+9a)/9。 α>β より α-β=2√(a^2+9a)/3 ‥‥(3) √(a^2+9a)=mとすると (2)と(3)からm^3=6^3。mは実数から m=6. 後は、√(a^2+9a)=6 を解くだけ。

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