微分の問題

質問

方程式x^3-3ax+a=0が異なる3個の実数解を持つとき、定数aの値の範囲を求めよ。

異なる3個の実数解を持つ為の条件が
(1)f(x)が極値をもつ(2)極大値と極小値が異符号
というのはわかるのですが、
(1)の条件としてa＞0というのがわかりません。
お教えください。

回答No.1

info222_

>(1)の条件としてa＞0というのがわかりません。
f(x)=左辺=x^3-3ax+aとすれば
f'(x)=3(x^2-a) なのでf(x)=0が異なる３実数解をもつためには
f'(x)=3(x^2-a)=0が異なる２実数解を持たねばならないですよね。
だとすると、a>0でないと重解（同じ解）または２虚数解となりませんか？そうすると極大値、極小値を持たないことになる。
なので、a>0でなければならないのです。

お分かり？