微分のこの問題誰か解説してください！

質問

微分の問題なんですが、どれだけ考えても、答えに辿りつかないので、誰か解説してください；；
一応答えは分かるんですが、解説がのってないので・・・。

問題
３次関数ｆ(ｘ)＝ax3＋bx2＋cx＋d　が次の条件すべて満たすように、定数a,b,c,d,の値を求めよ。
ｆ(１)＝１　ｆ(－１)＝－ｆ(ｘ)　
ｆ(ｘ)は-1/2で極大値をとる。

ちなみに、答えはa=4 b=0 c=-3 d=0 です。　

自分は a＋c=1 b＋d=0 3/4a-b＋c=0 まで分かったんですが・・・

本当困ってます。試験がもうすぐなので；；
救世主をお待ちしております。

回答No.3

ElectricGamo

先ほどの回答、一部間違えてました。

　f'(1/2)=3a(1/2)^2+2b(1/2)+c=0 → 3a/4+b+c=0 (3)

を
　f'(-1/2)=3a(-1/2)^2-2b(1/2)+c=0 → 3a/4-b+c=0 (3)

としてください。

回答No.2

ElectricGamo

きっと f(-1)=-f(x) ではなくて f(-x)=-f(x) でしょう。

そうであれば、

　f(1)=1 → a+b+c+d=1 (1)

　f(-x)=-f(x) → a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d=-ax^3-bx^2-cx-d → bx^2+d=0
　これが任意のxで成立するには b=d=0 (2)

　f'(1/2)=3a(1/2)^2+2b(1/2)+c=0 → 3a/4+b+c=0 (3)

(2)を(1),(3)へ代入すれば、a+c=1, 3a/4+c=0 → a=4, c=-3

お礼

すごく、丁寧な回答ありがとうございます。
おかげで、自分も理解することができ、助かりました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

もしかして、
ｆ(－１)＝－ｆ(ｘ)　
は、書き間違いですか？

補足

あ、すみません；；書き間違えてました；；
正しくは、f(-x)=-f(x) です。