• ベストアンサー
  • 困ってます

微分の問題がわかりません

f(x)=x^3+ax^2+bx+c (a,b,c,dは実数) が (ⅰ)f(-x+d)+f(x+d)=2f(d) (ⅱ)f(d)=-11 (ⅲ)f(x)は x=-1 で 極値5 をとる を満たすとき、 (1)a,b,c,dの値 (2)区間 p≦x≦q におけるf(x)の値域が 5p≦f(x)≦5q となるように実数p,qの値を定めよ。ただし p<-1, p<q とする。 という問題なんですが、 abcdの値は似たような問題は解けるんですが この問題はdの三次関数が発生してうまく解けません。 あと(2)の解法もなかなか思いつきません。 解法わかる方いましたらお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数7
  • 閲覧数129
  • ありがとう数7

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.6

> 1.f(x)とy=5xとの接点を出す。 f(x) = 5x を解いて、x = ( 3 - √65 )/2 , 0, ( 3 +√65 )/2 ですね。 グラフを見ると、 q>( 3 + √65 )/2 なら f(q) > 5q p<( 3 - √65 )/2 なら f(p) < 5p が分ります。ですから、 ( 3 - √65 )/2 ≦ p , q ≦ ( 3 + √65 )/2 ・・・ (1) でなければなりません。 > 2.1の結果において最小値はx=3における極値になる > 3.f(x)=-27となるxの値を求める(x≠3の方) f(x) = -27 を解いてみますと、 x^3 - 3x^2 - 9x +27 = 0 ⇔ ( x - 3 )^2 ( x + 3 )=0 ∴ x = -3, 3 なんですが、x = -3 < ( 3 - √65 )/2ですから、3≦qならば p≦x≦qでのf(x) の最小値はf(3)= -27 。故に、y=-27とy=5xの交点をpとすることを考えて5p = -27 を解いてp = -27/5とすれば良いように思うのですが、残念、-27/5 < ( 3 - √65 )/2 ですので、このpは(1)を満足しません。 ということは、x = 3 が変域に含まれてしまうと、p≦x≦q で5p≦f( x ) になるpが存在しなくなる。よって、x = 3 を変域に含まないように、q < 3としなければなりません。 もう一つおまけに、q<0では、題意を満たすp, qが同時に存在することはないことがグラフより分ります。 ということで、ここまでを整理すると、(1)の条件はさらに狭くなって、 ( 3 - √65 )/2 ≦ p < -1 < 0 ≦ q < 3 でなければならないことが分ります。 p < - 1 < 0 ≦ q < 3のとき、p≦x≦qでのf(x) の最大値は f(-1) = 5 y=5 と y=5x との交点の x座標をqとすればよいので、 5q = 5 よりq=1であるが、0≦ q <3を満たすのでOK。 ∴ q=1とすれば、x≦q ならば f(x) ≦ 5qが成立。 という事で、q=1です。 qが決まりましたので、pをやっつけますが、少々面倒です。 ( 3 - √65 )/2 ≦ p < -1 であることは忘れずにおいて・・・ p ≦ x ≦ 1でのf(x)の最小値は、 f(p) もしくは f(1) = -11 ( 3 - √65 )/2 < x < 1 で f(x) = -11 を解くと、x= 1 - 2√3が得られ、 p < 1 - 2√3 ならば、f(x)の最小値はf(p)    ・・・ (2) 1 - 2√3 ≦ p ならば、f(x)の最小値はf(1) = -11  ・・・ (3) (2)の場合は、 y = f(x) と y=5x の交点が求めるpで、 p=(3-√65) / 2, q=1とすれば、p≦x≦qならば5p≦f(x)≦5qが成立。 (3)の場合、 y = -11 と y = 5x の交点を求めてx = -11 / 5ですが、1 - 2√3 < -11 / 5よりp = -11 / 5 としてよい。ということで、 p=-11 / 5, q=1とすれば、p≦x≦qならば5p≦f(x)≦5qが成立。 以上より、(p,q)は((3-√65) /2 , 1),(-11 / 5 , 1) だと思うんですが、グラフ眺めながら確認してみて頂けませんか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

解答ありがとうございます。 よく読んでみるとさっきの解法は間違えていたようです。 自分なりにまとめて 1.qの値は最大値が極値の1とy=5x上の(3+√65)/2が考えられる。 2.(3+√65)/2はpの値が存在しないので不適。 3.q=1の時、pは最小値を-11とする時とy=5x上の-11/5と(3-√65)/2 としました。 最小値は最大値に依存されやすいので 最大値の考えられるパターンにより場合分けして 個別に最小値を出すべきだったようです。

関連するQ&A

  • 極大・極小の問題?!

    問「実数係数のxの三次関数 f(x)=x^3 + ax^2 + bx が x=α で極大値  をとり、x=β>0 で極小値0 をとるとする。このとき、      (1) β/αの値を求めよ   (2) f(α)=f(γ),α≠γのとき γ/αの値を求めよ   (3) f(α)=4 ならば,a,bの値はいくらか     」 一応解法と答えはわかっているのですが、他にも解法がないかきになったので、皆さんの解法を参考にさせてください。

  • 数学の問題です。

    a bを実数の定数とするxの三次式 f(x)=x^3+ax^2+ax+b g(x)=x^3+bx^2+ax+a があり、二つの方程式f(x)=0 g(x)=0いずれもx=-1を解にもつ。 問題(1) bの値をもとめよ。 ※という問題です。宜しくお願いします。

  • ・微分の問題です

    3次関数F(X)=2/3X^3-(4a+1)/2X^2+2aXについて、F(X)が極値を持つための条件を求めよ。 …という問題で、私の解答は 極値を持つときはF'(X)=0が異なる2つの実数解を持つときなので F'(X)=2X^2-(4a+1)X+2aを求めて、 判別式D=(4a-1)^2>0 より、a>1/4 と、求めたのですが 答えはa≠1/4です。 どこを間違えたのか教えてください。お願いします。

その他の回答 (6)

  • 回答No.7

答えが一致したなら、一安心です。 計算間違いしてなかったか・・・ほっ。 極値を考えなければならないのと、y=5xの直線を引っ張るのに気づくか・・・というところで少々面倒ですが、グラフをかいて、注意深く場合分けしてと地道にやるのがいいみたいですね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

思った以上に泥臭い問題で大変でした。 いろいろありがとうございました。

  • 回答No.5

> 途中で >> (3-√65)/2 ≦ x ≦ (3+√65)/2 > が計算合わないのですがもしかして(3±√45)/2のことでしょうか? ???ごめんなさい。良く分らない。 質問者さんの#1~#3の回答で、f(x) = 5xを解いて、 p=(3-√65)/2 q=(3+√65)/2 が得られたのですよね?この計算自体は合っていると思います。 で、このようにp,qを定めればxの変域 p≦x≦qで5p≦f(x)≦5qになるでしょう、という回答だったのでは? 私が勘違いしてたかな? すると、f(x)の最小値が5p= 5(3-√65)/2 ってことになっちゃうんだけど、x=3はこの変域に入っているにも関わらず、f(3)=-27< 5(3-√65)/2 ですから、間違ってますねという話です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

すいません極値を織り込んで考えると 全然やりかたがわからなくなります。 良ければ(2)の答えまで書いてもらえませんか? 自分の頭の中では 1.f(x)とy=5xとの接点を出す。 2.1の結果において最小値はx=3における極値になる 3.f(x)=-27となるxの値を求める(x≠3の方) 4.その値をf(x)に代入して-27より低くないか確認する 5.pは3で出した値、qは1で出した値 かなと思うんですが3以降が分かりません。

質問者からの補足

すいませんこちらの勘違いでした。 (3±√65)/2 この値を関数とx軸の交点のx座標と思っていました。

  • 回答No.4

(1)よかったですね。 (2)うーん、早合点かな? だから、グラフをなるべく正確に描いてみましょう。 めんどくせーと思っても、とにかく描いてみて。 それから、p≦x≦q,5p ≦ f(x) ≦ 5q ⇔ f(p)=5p, f(q)=5q とは限りませんよね。 y=f(x)とy=5xの交点を考えて、 その上さらに、y=f(x)の極値をya , yb として、直線 y=ya , y=yb とy=5xの交点も考える必要があるのです。この後半が抜けてます。 f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x の極値を求めてみると、f(-1)=5とf(3)=-27が求まりますね。 (3-√65)/2 ≦ x ≦ (3+√65)/2でのf(x)の最小値はx=3のとき-27です。 5p ≦ f(x)が成立していません。 また、q=1とすると、p≦x≦q (=1)でのf(x)の最大値はf(-1)=5 ということで、x≦q (=1) でf(x)≦5qを満たす。 この問題、やはりy=f(x)とy=5xのグラフをなるべく正確に重ねて描いて、そのグラフを眺めて考えた方が良いと思います。上品なんじゃなくて、それなりに泥臭いんです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

わかりました、例えば最大値に関して、 もしf(q)=5qとなる点があっても、 それより上に極値f(-1)があれば式が成立せず、 また最小値の場合も同様ということですね? よく考えて見ます。

質問者からの補足

よく計算してみると確かに早合点なようなので 現在計算しなおしています。 途中で >(3-√65)/2 ≦ x ≦ (3+√65)/2 が計算合わないのですがもしかして(3±√45)/2のことでしょうか?

  • 回答No.3

#1,2 さんが言われるように、(1)だけでも途中結果まで示してもらえれば、どこが違うか、どこに考え落としている点があるか、具体的に指摘してもらえると思います。他の方々の解法を聞くだけでなく、自分の考え方のどこが違っていたのかを知る事も重要でしょう。 (1)ですが、 > この問題はdの三次関数が発生してうまく解けません。 ということは、条件からa,b,cを全てdで表すところまではできて、最後に残ったdの3次方程式をうまく解けないということでしょうか。dの3次式が残るようにやってみましたが、 d^3+3d^2+3d-7=0 となって、これは (d-1)(d^2+4d+7)=0 と因数分解できてd=1と求まります(実数解は1つだけ)。もう一度計算間違いに気をつけてトライしてみたらどうでしょう。 (2)ですが、(1)で a=-3,b=-9,c=0が得られて、f(x)= x^3 - 3x^2 - 9x と分かったら、y=f(x)が極値をとる座標と、x軸との交点を調べて、ちゃんとグラフを書いて見ましょう。 そして、そのグラフの上に、直線y=5xのグラフを重ねて書いてみます。 そうすれば、答えが見えてきます。 おまけのヒントは、 ・ y=f(x) とy=5xとの交点を考える。 ・ y=f(x) の極値をya,ybとし、y=5xとy=ya,y=ybとの交点も考える。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

(1)が解けないのは単なる計算ミスでした。 (2)も1の結果であれば簡単に解けるように作ってありました。 今後気をつけます、失礼しました。 >(1)ですが そういうことです。 dの計算ミスで因数定理が使えなかったのが原因です。 d^3+3d^2+3d-7=0 はx-1で簡単にくくれますね! >(2)ですが グラフを書いてy=5xを重ねる方法は思いつきませんでした。 たしかにこの解法のほうが上品な気がします。 f(x)=x^3-3x^2-9x f'(x)=3x^2-3x-9   =3{x-(1+√13)/2}{x-(1-√13)/2} これでグラフを書いて、y=5xとの交点を考える。 x^3-3x^2-9x-5x=0 x(x^2-3x-14)=0 x=0,(3±√65)/2 p<-1より p=(3-√65)/2 p<q ,またq=0としたとき値域は5p≦f(x)≦f{(1-√13)/2}となり不適なので、 q=(3+√65)/2 ∴ p=(3-√65)/2 q=(3+√65)/2

  • 回答No.2
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

(1)ができないと(2)のf(x)もわかりませんね。 (1)は計算は面倒ですがこつこつと計算して行けば解けます。 a,b,c,dについての方程式を4つ作って連立方程式を解けばいいだけです。 (i)から a+3d=0 (ii)から f(d)=0の式 (iii)から f'(-1)=3-2a+b=0, f(-1)-1+a-b+c=0 と4つの式ができますよ。 (1)の答えは a=-3,b=-9,c=0,d=1 (2)はf(x)が分かればできるでしょうから f(x)=x(x^2-3x-9) この先は自力でやってみて下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

解答ありがとうございます。 -6d-3-c+3d+6=0 ⇔c=-3d-3 ・・・・・(ⅲ) ここを計算ミスしていました。 c=-3d+3 です。 これを (c)に代入して、 d^3+3d^2+3d-7=0 (d-1)(d^2+4d+7)=0 dは複素数より、d=1            ∴a=-3,b=-9,c=0,d=1 求められました。 (2)は f(x)=x(x^2-3x-9) 条件より f(p)=5p, f(q)=5q なので、 p(p^2-3p-9)=5p p<-1 より p^2-3p-14=0 p=(3±√65)/2 p<-1より p=(3-√65)/2 また q(q^2-3q-9)=5q ここでq≠0として、 q^2-3q-14=0 q=(3±√65)/2 p<qと q≠0 より、 q=(3+√65)/2 ∴ p=(3-√65)/2 , q=(3+√65)/2 となりました。 計算ミスをして難しく考えていました。

  • 回答No.1
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

なぜできる範囲の解答を書かないで問題だけなげ、丸解答を求められるのですか?質問されるなら、まず不完全で結構、解答を補足に書いて下さい。 そうでないとマナー違反ですよ。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ごめんなさい、以後気をつけたいと思います。 解答は以下の通りです。 (ⅰ)に代入して f(-x+d)+f(x+d) =(-x+d)^3+a(-x+d)^2+b(-x+d)+c +(x+d)^3+a(x+d)^2+b(x+d)+c =(2a+6d)x^2+2bd+2c+2ad^2+2d^3 =-22 (∵ (ⅱ)のf(d)=-11 ) 係数比較して、 2a+6d=0 2bd+2c+2ad^2+2d^3=-22 より a=-3d ・・・・・・・・・・・・・・・・(I) 代入して 2d^3-bd-c-11=0 ・・・・・(a) また、 f(-1)=-1+a-b+c=5    -3d-b+c=6    b-c+3d+6=0 ・・・・・・・・・・・・(b) またx=-1の時は極値なので、 f'(x)=3x^2+2ax+b f'(-1)=3-2a+b=0    2a-b=3     b=2a-3=-6d-3 ・・・・・・・(II) (a)に代入して、 2d^3+3d-2ad-c-11=0 2d^3+3d+6d^2-c-11=0 2d^3+6d^2+3d-c=11 ・・・・・・・(c) (b)に代入して、 -6d-3-c+3d+6=0       c=-3d-3 ・・・・・(ⅲ) (c)に代入して、 3d^3+6d^2+6d=8 この先のdの値の出し方がよく分かりません。 (2)の解法は、 (1)の答えが出てないので f(x)=x^3+4x^2-3x+2 とすると、 f'(x)=(3x-1)(x+3) ここで増減表とグラフを書いて、 f(p)=5p, f(q)=5q より、 p^3+4p^2-8p+2=0 q^3+4q^2-8q+2=0 というところまで考え付きます。 この先の計算が(p,qに代入して左辺が0になる値をx-値でくくる) 方法なら知っていますが±(2,1)/(±1)で試しましたが使えませんでした。 マナー違反失礼しました。

関連するQ&A

  • 教えてください

    (1)lim[x→1]x^2-ax+b/x^2-3x+2=2のとき、a、bの値を求めよ。 (2)関数f(x)=x^3+ax^2+bxがx=-1で極値5をとるとき、定数a、bの値および極小値を求めよ。 (1)と(2)は関係のない別々の問題です。 すみませんがよろしくお願いします。

  • 三次関数の問題

    三次関数についての問題です。 f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+cにおいて (1)f(0)=0 f´(0)=2 (2)x=tで極大になり、また   x=2tで極小になる。 この二つを満たす時、 a・b・c・tの値と、f(x)の極値を求めなさい。 分かるのはtのみで、他が全く分かりません。 判明したtから他の値も求まるのでしょうか。 分かる方いましたら、ヒントでかまいませんので教えて ください。

  • 微分の応用

    関数f(x)=ax^2+bx+c/x^2+d (a,b,c,dは定数でかつ0でない) がx=0,x=1で変曲点となるとき、 f(x)の極値の個数と変曲点の個数を求めよ という問題について f'(x)=-bx^2+2(ad-c)x+bd/(x^2+d)^2 f''(x)=2bx^3-6(ad-c)x^2-6bdx+2d(ad-c)/(x^2+d)^3 で、ad-c=0、d=1/3であること、 f'(x)=0になるときのxは±1/√3 であることまではわかったのですが これからどうすればいいのかわかりません。 極値も変曲点も2個だと思うのですが。 回答お願いします。

  • 数学の解答解説お願いします。

    いつもお願いしてばかりですみません。今回もお願いします。 a,b,cは実数とする。f(x)=x^3+ax^2+bx+c x=0のとき極大値3をとる。 b,cの値を出せ。という問題です。 f(x)にx=0を代入してc=3は出せました。 またf(x)を微分して極値を取るので3x^2+2ax+b=0という式も 出しましたが・・ bの値はどのようにしたら出せるでしょうか? 解答解説よろしくお願いします。

  • 微分の問題

    微分の問題なのですが aを定数として、関数f(x)=2x^3-3ax^2+6(a-1)x+a-4とすると (1)f(x)が極値をもつのはaがどのような条件の時ですか? (2)xについての方程式f(x)=0が異なる3個の実数解を持つのは    aがどのような条件のときですか? ちなみに(1)の答えが aキ2になるのですが 私は判別式を使って解いたのですが aキ2はでてきませんでした。 (2)は解答ではa<0,4<aです。 教えて下さい。お願いします。

  • 微分の問題について教えてください

    微分の問題について教えてください aを正の定数とし関数f(x)を f(x)=x^3-3a^3x+2a とする 方程式f(x)=0が実数解をただ1つだけもつようなaの値の範囲を求めよ できれば解法と手順をお願いします

  • 数学の問題の質問です。

    手がつけれずに困ってます。 1個のさいころを投げて出た目をαとし このαの値に対して関数f(x)=x^3+(a-3)x+1 を考える。 I. f(x)が極値をもつ確立を求めよ。 II. f(x)=0の実数解がただ1つである確立を求めよ。 III. 曲線C:y=f(x)と直線L:y=x+1とで囲まれた部分の面積の期待値を求めよ。 ただし、CとLの共有点が1つのとき面積は0とする。 という問題の詳しい解説お願いします。

  • 3次関数が極値をもつ必要十分条件

    3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ なんですよね? これは、f'(x)=0が実数解α、β(α≠β)をもつとき、f(α)、f(β)は極値となる、ということにはならないんでしょうか? 例えば、 3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき、定数a,b,c,dの値を求めよ。 という問題で、 x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとる⇒f'(0)=0、f'(2)=0 つまりf'(x)=0が異なる2つの実数解をもつのだから、しかもf(0)=2、f(2)=-6という条件も代入しているのだから、a,b,c,dを求めた後に確認をする必要があるというのが理解できません…

  • お願いします!

    二次関数f(x),g(x)および実数kが以下の(I),(II),(III)の条件をすべて満たしているとする。 (I)f(x)はx=kで最大値をとる (II)f(k)=13,f(-k)=-23,g(k)=49,g(-k)=7 (III)f(x)+g(x)=2x2+13x+5 このとき,kの値とf(x),g(x)を求めよ 。 お願いします っ

  • 微分の関数の値の増減の問題です。

    関数f(x)=x^3-3ax^2+3x-4について、次の問いに答えよ。 (1)f(x)の値が常に増加であるように、aの値の範囲を定めよ。 (2)f(x)が極値をもつようにaの値の範囲を定めよ。 という問題で解説に (1)すべてのxについて、f`(x)≧0 f'(x)=3x^2-6ax+3だからf`(x)=0の判別式をDとすると、D=36a^2-36≦0より、-1≦a≦1 と書いてあります。 なぜD=36a^2-36≦0になるのかがどうしても理解できません。 (2)も 極値をもつためにはD>0であればよい とあって、なぜなのか・・・・とない頭と回転させましたがわかりませんでした。どなたか解説をお願いします。

専門家に質問してみよう