微分の問題についての条件を求めよ
- 問 f(x)=ax^4+bx^2+c(a≠0)の極大値を持つための条件を求める。
- ａ＞０かつｂ＜０ またはａ＜０の場合に極大値を持つ。
- 答えはａ＞０かつｂ＜０ またはａ＜０。
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微分の問題
数学の問題について質問させてください この問題の解答はこれででよいのでしょうか？ だれかアドバイスおねがいします。 問 f(x)=ax^4+bx^2+c(a≠0)が極大値をもつためのa,b,cに関する条件を求めよ。 自分の考え １） ａ＞０のとき： f(x)が極大値を持つためには、極値を３つ持つ。 これを数式で考えると、f'(x)＝０を満たす実解が３つなければならないため、 f'=4ax^3+2bx =2x(2ax^2+b) f'(x)＝2ax(2x^2+b/a)＝０ なので、 ｂ／2ａ＜０ ∴ ｂ＜０ （∵ａ＞０） このとき、極値は ｘ＝０、±√(-b/2a) と３つ持ち、極大値を持つ。 ２） ａ＜０のとき： f(x)のグラフの形は、ωを逆さにしたような形になり、パラメータａ，ｂ，ｃがどんな値であっても必ず最大値を持つため、必ず極大値を持つ。 従って、ａ＜０のときは、ｂ、ｃについての条件はない また、ｃについては、グラフを上下させるだけなので、極大値の個数には関係がない。 従って答えは ａ＞０かつｂ＜０ またはａ＜０ となる。 もし、間違っている箇所があるならご指摘お願いします。
- tkoh
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#1です。 A#1の補足質問の回答 >１）のところの > f'(x)＝2ax(2x^2+b/a)＝０ なので、 ここは、 f'(x)＝2ax(2x^2+b/a)=0 が常に成り立つ分けではないので 「f'(x)＝2ax(2x^2+b/a)(a>0)なので f'(x)＝０が 異なる3実解を持つ為の条件は」 とでも書いた方が良いでしょう。 > ｂ／(2ａ)＜０ >∴ ｂ＜０ （∵ａ＞０） >と書いたのですが、 上のように修正すればこれでも良いでしょう。 > >ここはｂ／ａ＜０より、∴ ｂ＜０ （∵ａ＞０）となるでもよいのでしょうか？ 上の修正をした上でなら、分母の２は書かなくても良いです。 （2を書かない方はすっきりしますね。）
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- info22
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合っていると思います。
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補足
回答ありがとうございます。 １）のところの f'(x)＝2ax(2x^2+b/a)＝０ なので、 ｂ／2ａ＜０ ∴ ｂ＜０ （∵ａ＞０） と書いたのですが、 ここはｂ／ａ＜０より、∴ ｂ＜０ （∵ａ＞０）となるでもよいのでしょうか？ 教えてください。