数学の問題です

質問

この問題、解いてもらえないでしょうか
途中式もお願いします・・・

問題：2つの整数P(x)=(x-3)(2x+a)とQ(x)=x^3-3x^2+bx+cがある。P(x)をx-1で割った余りは-6であり、Q(x)はx^2+2で割り切れる。ただしa,b,cは定数とする。

（1）aの値を求めよ。

（2）Q(x)をx^2+2で割った商を求めよ。また、b,cの値をそれぞれ求めよ。

（3）kを定数とする、xの方程式kP(x)+Q(x)=0の異なる実数解の個数がちょうど2個であるとき、kの値を求めよ

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

ANo.2/3です。
　bを除いて、一応答えには辿り着いたようですね。
　後は途中の説明にあるおかしなところを直していきましょう！

＞（2） (x-α)(x^2+2)=x^3-αx^2-2x-2α これをQ(x)=x^3-3x^2+bx+cと係数比較して　α=3 よって商はx-3 またb=-2,c=-6

　展開した式x^3-αx^2-2x-2αのxの係数が誤ったままです。それとbの値を直して下さい。

＞（3）
＞P(x)=(x-3)(2x+1)、Q(x)=(x-3)(x^2+2)
＞kP(x)+Q(x)=(x-3)｛(2x+1)+(x^2+2)｝=0　(x-3)(x^2+2kx+k+2)=0　
＞ここでx^2+2kx+k+2をR(x)と置く。
＞(i)R(x)が重解βを持つとき(β≠3)
＞題意よりx^2+2kx+k+2=0 D/4=k^2-k-2-=0 (k-2)(k+1)=0 k=2、-1

　ここまではOKです。

＞R(2)＝9+12+1>0,R(-1)＝9-6+1>0よりβ≠3を満たす。

　ここでR(x)に判別式から求めたkの値を入れても意味がありません。
　R(3)=7k+11から、k=2のときもk=-1のときも0にならないことを示して下さい。

＞(ii)R(x)が異なる2つの実数解を持ち、その1つが3のとき
＞D/4=k^2-k-2->0 (k-2)(k+1)=0 k<-1,2<k
＞R(3)=0より　9+6k+k+2=0　k=-11/7 これはk<-1を満たす
＞よってk=2,-1,-11/7
＞こんな感じでしょうか！

　OKです！

　あともう少しですね！　頑張ってね！

補足

（2） (x-α)(x^2+2)=x^3-αx^2+2x-2α これをQ(x)=x^3-3x^2+bx+cと係数比較して　α=3 よって商はx-3 またb=2,c=-6

（3）
P(x)=(x-3)(2x+1)、Q(x)=(x-3)(x^2+2)

kP(x)+Q(x)=(x-3)｛(2x+1)+(x^2+2)｝=0　(x-3)(x^2+2kx+k+2)=0　

ここでx^2+2kx+k+2をR(x)と置く。

(i)R(x)が重解βを持つとき(β≠3)
題意よりx^2+2kx+k+2=0 D/4=k^2-k-2-=0 (k-2)(k+1)=0 k=2、-1

R(3)=9+6k+k+2=7k+11 これをS(x)とする

S(2)>0,S(-1)>0よりβ≠3を満たす

(ii)R(x)が異なる2つの実数解を持ち、その1つが3のとき

D/4=k^2-k-2->0 (k-2)(k+1)=0 k<-1,2<k

R(3)=0より　9+6k+k+2=0　k=-11/7 これはk<-1を満たす

よってk=2,-1,-11/7

やっと終わりそうです！

回答No.3

Mr_Holland

ANo.1です。

＞（2） (x-α)(x^2+2)=x^3-αx-2x-2α これをQ(x)と係数比較して　α=3 よって商はx-3 またb=-2,c=-6

　αはOKですが、展開した式に誤りがあるのでbが違っています。見直してください。

＞（3）
＞P(x)=(x-3)(2x+1)、Q(x)=(x-3)(x^2+2)
＞kP(x)+Q(x)=(x-3)｛(2x+1)+(x^2+2)｝=0　(x-3)(x^2+2kx+k+2=0)=0　
＞題意よりx^2+2kx+k+2=0 D/4=k^2-k-2-=0 (k-2)(k+1)=0 k=2、-1
＞↑異なることを吟味しなきゃいけないから
＞判別式じゃなくて解の公式を使わないといけないんですかね？
＞-k±√k^2-k-2 にどちらも代入して3以外ってことを確かめなきゃいけない・・んですかね？

　R(x)=x^2+2kx+k+2=0 がx=3と異なる解をもつことを示すには、解の公式で確かめてもいいですが、少し手間がかかります。ですので、R(x)にx=3を代入したとき0にならないこと（R(3)≠0）を示せば良いです。

＞それと場合わけがよくわからないです・・・
＞(x-3)=0は確定じゃないんですかね・・？

　その通り。kP(x)+Q(x)=0の1つの解はx=3で確定です。
　次にR(x)=0を考えるわけですが、R(x)=0が重解をもつとき、その重解がx=3だったらどうなるでしょう。kP(x)+Q(x)=0の解はx=3という3重解（実数解の個数がちょうど1個）になってしまいます。これではいけませんので重解をもつ条件にR(3)≠0を付け足す必要があります。（たまたまここで求めるkの値には影響しませんが。）
　そして、R(x)=0が異なる2実数解をもつときですが、x=3とx=β(β≠3)という解をもつときも問題の条件を満たしますよね。（kP(x)+Q(x)=0の解はx=3,β（β≠3)）　ですから、この場合も考えておく必要があります。
　これらを式としてまとめたものがANo.2です。

　もしまだ釈然としないものがあるようでしたら、ANo.2のケースii)のときのkを求めてkP(x)+Q(x)=0の解を求めてみてください。実際に代入して確かめておくと実感がもちやすいかも知れません。

補足

（2） (x-α)(x^2+2)=x^3-αx^2-2x-2α これをQ(x)=x^3-3x^2+bx+cと係数比較して　α=3 よって商はx-3 またb=-2,c=-6

（3）
P(x)=(x-3)(2x+1)、Q(x)=(x-3)(x^2+2)

kP(x)+Q(x)=(x-3)｛(2x+1)+(x^2+2)｝=0　(x-3)(x^2+2kx+k+2)=0　

ここでx^2+2kx+k+2をR(x)と置く。

(i)R(x)が重解βを持つとき(β≠3)
題意よりx^2+2kx+k+2=0 D/4=k^2-k-2-=0 (k-2)(k+1)=0 k=2、-1

R(2)＝9+12+1>0,R(-1)＝9-6+1>0よりβ≠3を満たす。

(ii)R(x)が異なる2つの実数解を持ち、その1つが3のとき

D/4=k^2-k-2->0 (k-2)(k+1)=0 k<-1,2<k

R(3)=0より　9+6k+k+2=0　k=-11/7 これはk<-1を満たす

よってk=2,-1,-11/7

こんな感じでしょうか！

回答No.2

Mr_Holland

ANo.1のgohtrawさんが良いヒントを出してくれています。
　すぐに訂正されると思いますが、一言だけ。
　設問(3)のR(x)=0については次の場合分けが必要です。

i) x=-αと異なる重解をもつとき
　　(判別式)=0, R(-α)≠0
ii) 2実解をもち、そのうちの1つがx=-αのとき
　　(判別式)>0, R(-α)=0

お礼

問題：2つの整数P(x)=(x-3)(2x+a)とQ(x)=x^3-3x^2+bx+cがある。P(x)をx-1で割った余りは-6であり、Q(x)はx^2+2で割り切れる。ただしa,b,cは定数とする。

（1） 剰余の定理よりP(1)=-2a-4 題意より　-2a-4=-6 a=1

（2） (x-α)(x^2+2)=x^3-αx-2x-2α これをQ(x)と係数比較して　α=3 よって商はx-3 またb=-2,c=-6

（3）
P(x)=(x-3)(2x+1)、Q(x)=(x-3)(x^2+2)

kP(x)+Q(x)=(x-3)｛(2x+1)+(x^2+2)｝=0　(x-3)(x^2+2kx+k+2=0)=0　

題意よりx^2+2kx+k+2=0 D/4=k^2-k-2-=0 (k-2)(k+1)=0 k=2、-1

↑異なることを吟味しなきゃいけないから
判別式じゃなくて解の公式を使わないといけないんですかね？
-k±√k^2-k-2 にどちらも代入して3以外ってことを確かめなきゃいけない・・んですかね？

それと場合わけがよくわからないです・・・
(x-3)=0は確定じゃないんですかね・・？

回答No.1

gohtraw

（１）P(x)にｘ＝１を代入し、その時の値を６とすればａが出ます。剰余定理ですね。
（２）求める商をｘ＋αとでもおき、
　Ｑ（ｘ）＝（ｘ＋α）（ｘ＾２＋２）＝ｘ＾３－３ｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ
　を展開して係数を比較すればα、ｂ、ｃが出ます。
（３）上記よりＰ（ｘ）とＱ（ｘ）は共通因数（ｘ＋α）を持つことが判るはずです。するとｋＰ（ｘ）＋Ｑ（ｘ）は（ｘ＋α）とＲ（ｘ）の積で表されます（Ｒ（ｘ）はｋを含むｘの二次式）。ｋＰ（x)＋Ｑ（ｘ）＝０の一つの解はーαなので、もう一つはＲ（ｘ）＝０とした時の解です。これが重解になればいいので・・・？