微分

質問

数学の問題について質問させてください。
以下の問題がどのように考えていいのかわかりません。
だれかアドバイスおねがいします。

問　f(x)=ax^4+bx^2+c(a≠0)が極大値をもつためのa,b,cに関する条件を求めよ。

自分の考え（途中まで）
f'=4ax^3+2bx
=2x(2ax^2+b)
ここからどのようにすればいいのでしょうか？

教えてください。

回答No.6

info22

#３です。
A#3の前半のa=0のところは、問題の式の後にa≠0と書いてあるのを確認したつもりが見落としていました。

#4さん、指摘ありがとう。
（訂正前に締め切られなくて良かったです。）

#1さんのA#1の解答どおりa=0は考慮する必要はありませんので
訂正します。

> 答えは
> ａ＞０かつｂ＜０　←正しい
> ａ≧０かつｂ＜０　←間違い
> または
> ａ＜０

回答No.5

Mr_Holland

＃１です。
　補足を拝見しました。

＞cに関しての条件についてはどのようにすればいいのでしょうか？

　もうお分かりの通り、ｃについては、グラフを上下させるだけですので、極大値の個数には関係ありません。
　従って、ｃについてはなんの条件も得られないので、＜記載しない＞　か　あるいは　「ｃ：実数」　と書く事になると思います。

回答No.4

mister_moonlight

＞a＝0の場合がぬけていますので

当然だろう。条件に“a≠0”って書いてある。

回答No.3

info22

A#1さんの解で
a=0の場合がぬけていますので、以下の場合の解
a=0,b<0を含めて伊かのようになります。

答えは
ａ≧０かつｂ＜０　
または
ａ＜０
------------------------------------------
a=0,b<0のとき
f(x)=bx^2+cも最大値f(0)を持つ。

>cに関しての条件についてはどのようにすればいいのでしょうか？
cはグラフ全体をy軸方向に上下させる役割しかしていませんので、
最大値をcの分、かさ上げしますが、最大値を持つ条件には影響しません。

回答No.2

owata-www

まずは
f'(x)＝0
の解の個数で場合分けして、その際にf(x)がどのようになるか（f'(x)の変化を考えて）を調べればよいかと

まあ、f''(x)を出して考えてもいいですが

回答No.1

Mr_Holland

先ず、ａの正負によって場合分けしましょう。
　（ａ＞０のとき、グラフの形はωのような形になり、ａ＜０のときωを逆さにしたような形になります。）

１）　ａ＞０のとき：
　　f(x)が極大値を持つためには、極値を３つ持たなければなりません。
　　これを数式で考えると、f'(x)＝０を満たす実解が３つなければならないことになります。

　　　f'(x)＝2ax(x^2+b/a)＝０　ですので、
　　　　　ｂ／ａ＜０
　　　∴　ｂ＜０　　（∵ａ＞０）
ということになります。
　このとき、極値は　ｘ＝０、±√(-b/a)　と３つ持ち、極大値を持つことになります。

２）　ａ＜０のとき：
　　f(x)のグラフの形は、ωを逆さにしたような形になりますので、パラメータａ，ｂ，ｃがどんな値であっても必ず最大値を持ちますので、極大値を持ちます。
　　従って、ａ＜０のときは、ｂ、ｃについての条件はないことになります。

　以上をまとめますと、次のようになると思います。

　　ａ＞０かつｂ＜０　または　ａ＜０

補足

回答ありがとうございます。
cに関しての条件についてはどのようにすればいいのでしょうか？

cはもともと定数なので、微分すれば0となり、プラスでもマイナスでも関係ないのでしょうか？

ａ＞０かつｂ＜０　または　ａ＜０
cは±関係ないとすればいいのでしょうか？