数学II 微分

質問

f(x)は三次関数のとき、
lim 　　　　　　　　　　f(x)
　　　　　　------------- = 1
x→1 　　　　　x - 1

　　　　　　　と

lim 　　　　　　　　　　f(x)
　　　　　　　------------- = 2
x→2 　　　　　x - 2

を満たすf(x)を求めよ。

という問題があるのですが、

模範解答で、
「f(x)=(x-1)(x-2)(ax+b)とおいて、…　a=3, b=-4
答 f(x)=(x-1)(x-2)(3x-4)」
とあります。
たしかにこれが、良いやり方だと思うのですが、
問題を解くとき、そのやり方でなく、

私は、
「f(x)=x^3 + ax^2 + bx + c　とおいて、
f(1)=a+b+c+1=0
f(2)=4a+2b+c+8=0　とし、

b=-3a-7 , c=2a+6　とだしました。
よって、f(x)=x^3 + ax^2 + (-3a - 7)x + 2a + 6　となり、もともとの与式に代入したところ、

　 lim 　　　 (x - 1)｛x^2 + (a + 1)x - 2a -6｝
　　　　　　------------------------------------　 = 1+a+1-2a-6=1より
　x→1 　　　　　　　 　　　　　x - 1

a=-5, b=8, c=-5　　　　f(x)=x^3 - 5x^2 + 8x - 5 」 となってしまいました。

計算ミスの可能性もあるのですが、どこで狂っているのかがわかりません。

おそらく、このやりかたも間違えではないと思うのですが…

できれば、教えていただきたいです。

回答No.1

kobold · ベストアンサー

>f(x)=x^3 + ax^2 + bx + c　とおいて、
ここでx^3の係数を勝手に1と仮定していますが、これが間違いです
f(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおいて同じ計算をすれば答えは合うでしょう
しかし上のやり方の方が楽なのは言うまでもないと思います

お礼

よくかんがえると、そうですよね。

ようやく整理がつきました。

ありがとうございます！！

補足

この私の解答と模範解答のズレは、　
x^3の係数を1と決めてしまったことで、
グラフの形が変化してしまうから、　
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d　と置くのが適切だということでしょうか。