数学の問題を教えて下さい！

質問

三角関数でわからない問題があったので教えて下さい。
途中の式を詳しく教えていただけると嬉しいです。

a、b、c、α、βは実数とする
(1)2次不等式ax^2+bx+c≧0の解が1/2≦x≦√3/2となるようなa,b,cを求めよ。ただし|b|=1とする。
(2)θに関する不等式αsinθtanθ+βcosθ+tanθ≧0の0≦θ＜π/2の範囲での解がπ/6≦θ≦π/3となるようなα、βを求めよ。

解答
(1)a=1-√3、b=1、c=-3+√3/4
(2)α=1-3√3/4、β=-3+√3/4

(1)の問題では1/2と√3/2をそれぞれその2次不等式に代入し連立方程式を作って解いたら解答の答えに辿り着いたのですが、他にやり方はありますか？
もしあるのならそれも教えて下さい。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

(1)
解が1/2≦x≦√3/2となるような二次不等式のひとつは
(x-1/2)(x-√3/2)≦0
で、これの実数倍
k(x-1/2)(x-√3/2)≦0　（ただしk>0）
も同じ解を持ちます。
不等号の向きが逆であることに注意して、
-k(x-1/2)(x-√3/2)≧0
として展開し、ax^2+bx+c≧0と係数を比較します。

(2)
cosθを両辺にかけます。
このとき、与えられた範囲でcosθ>0なので、不等号の向きは変わりません。
αsinθsinθ+β(cosθ)^2+sinθ≧0
(cosθ)^2=1-(sinθ)^2を利用して、sinθだけにします。
さらに、sinθ=xとおくと・・・以下略

(1)の解1/2≦x≦√3/2は sinπ/6≦x≦sinπ/3 ですので、(1)の結果を利用できます。

お礼

お答えいただきありがとうございました！
とてもわかり易かったので、最後まできちんと理解することが出来ました。