数学を教えてください

質問

高2です　解答お願いします
実数a,bは等式
x^4＋x^3＋x^2＋x＋1＝(x^2＋ax＋1)(x^2＋bx＋1)
を満たすものとする
1
a＋b、abを求めなさい
2
複素数αが二次方程式　x^2＋ax＋1＝0　の解ならば　1/αもこの方程式の解であることを示しなさい
3
二次方程式　x^2＋bx＋1＝0　の解は(2)のα用いて、α^2、1/α^2と表されることを示しなさい

ちなみに1,2はわかっているので3だけで構いません

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

1
a+b=1 (1)
ab=-1　　(2)

3
x^2+ax+1=0
の根がα、1/αのとき
α+1/α=-a

α^2、1/α^2を根とする２次方程式は

x^2+px+1=0

とかけるとし、pに対する条件を求める。

-p=α^2+1/α^2=(α+1/α)^2-2=a^2-2

(1)、(2)より

b=1-a

ab=a(1-a)=-1

a^2-1=a

a^2-2=a-1=-b

ゆえに

p=b

従って

x^2+bx+1＝0の根は

α^2、1/α^2である。

お礼

ありがとうございます(*^。^*)

回答No.2

Tacosan

2: f(x) = x + 1/x とおくと f(α) = f(1/α) で, x^2 + ax + 1 = 0 は (x = 1 が解にならないので) a = -(x + 1/x) = -f(x) と同値だから.
3: α は α ≠ 1 かつ α^5 = 1 を満たす. つまりもとの 4次方程式の解は x = α, α^2, α^3, α^4 と書け, 2 から x^2 + ax + 1 = 0 の解は x = α, 1/α = α^4 だから x^2 + bx + 1 = 0 の解は x = α^2, α^3 = 1/α^2.

お礼

ありがとうございます(*^。^*)