2次不等式の解から係数決定 : a<0って要る？
2次不等式 ax^2 + bx + 4 > 0 の解が -1/2 < x < 4 であるとき、定数 a, b の値を求めよ。
・・・という、2次不等式の解から係数決定の問題について質問です。
まず、本に載っている解答を書きます。
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題意を満たすための条件は、2次関数 y = ax^2 + bx + 4 のグラフが、-1/2 < x < 4 の範囲でx軸より上側であることである。
すなわち、このグラフが上に凸の放物線で、2点(-1/2, 0), (4, 0) を通ることである。したがって、
a < 0 ・・・(1)
a(-1/2)^2 + b(-1/2) + 4 = 0 ・・・(2)
a・4^2 + b・4 + 4 + 0 ・・・(3)
(2)から
a - 2b + 16 = 0
(3)から
4a + b + 1 = 0
この2式を連立して解くと、
a = -2, b = 7
これは(1)を満たす。■
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自分の場合、いきなりax^2 + bx + 4 > 0 のxに -1/2 と 4 を代入して、連立不等式を作って解き、a = -2, b = 7 を得ました。
正直な話、上に凸か下に凸かなんて、まったく考えていませんでした。考えなくとも、式どおりに代入すれば、自ずと出てくるでしょうに・・・。
ということで、この問題に「 a < 0 ・・・(1) 」の条件って本当に必要ですか？
もし必要であるならば、「 a < 0 ・・・(1) 」の条件がなかった場合に起こりうる誤解答を教えてください。
この問題を少々改変しても構いません。では、よろしくお願いします。
