受験勉強としていままで放置状態においていた数学をやりはじめたのですが、

質問

受験勉強としていままで放置状態においていた数学をやりはじめたのですが、教科書の問題に解説がなく困っています
解説をよろしくお願いします。
教科書は数学IIです。

（xの２乗を"x2"としました。）

２次方程式ｘ2＋aｘ＋b=0の二つの解の和と積を2つの解にもつ2次方程式の1つが
ｘ2＋bｘ＋2aであるという。0でない定数a,bの値を求めよ。

答え:a=-4 b=-2
(ｘ2＋aｘ＋b＝０の二つの解の和は-a,bで、-a,bを二つの解にもつ2次方程式の一つが
ｘ2＋bｘ＋2a＝０)

-a,bを二つの解にもつ2次方程式の一つが
ｘ2＋bｘ＋2a＝０←ここから、どうやってa=-4 b=-2につながっていくのかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

titetsu · ベストアンサー

２次方程式(1)ｘ2＋aｘ＋b=0の２つの解をｘ＝α、ｘ＝βとします。それらの和α＋βと積αβを2つの解にもつ2次方程式の1つは(ｘ－α－β)(ｘ－αβ)＝０と書けます。この方程式がｘ2＋bｘ＋2aと等しいので、ｘの各項の係数を比べるとｂ＝-αβ－(α＋β)、2ａ＝αβ(α＋β)です。
また、(1)式で「解と係数の関係」からα＋β＝－ａ、αβ＝ｂが言えます。
以上から
ｂ＝－ｂ－(－ａ)、２ａ＝ｂ×(－ａ)
これを解きますと、ａ＝-4、ｂ＝-2。

補足

ありがとうございます。

"それらの和α＋βと積αβを2つの解にもつ2次方程式の1つは(ｘ－α－β)(ｘ－αβ)＝０と書けます。この方程式がｘ2＋bｘ＋2aと等しいので、ｘの各項の係数を比べるとｂ＝-αβ－(α＋β)、2ａ＝αβ(α＋β)です。"

とありますが、
それらの和α＋βと積αβを2つの解にもつ2次方程式の1つは(ｘ－α－β)(ｘ－αβ)＝０と書けるのはなぜでしょうか？

何もわからなくてごめんなさい；

公式のようなものがあるんでしょうか？

回答No.3

nattocurry

ある２次方程式が、２つの解 ｘ＝α、ｘ＝β を持つということは、その2次方程式は (ｘ－α)(ｘ－β)＝０と表せます。
#1さんも#2さんも、これを前提に説明しているので、これが解らないとお手上げです。

さて、ｘ^２＋ａｘ＋ｂ＝０　の２つの解が　ｘ＝α、ｘ＝βなので、(ｘ－α)(ｘ－β)＝０と表せます。
(ｘ－α)(ｘ－β)＝ｘ^２－(α＋β)ｘ＋αβ＝０
同じ次数の項の係数は等しいので、
ａ＝－(α＋β)　⇒　α＋β＝－ａ
ｂ＝αβ

一方、和α＋βと積αβを２つの解に持つ２次方程式ですが、α＋β＝Α、αβ＝Βとし、ΑとΒを２つの解に持つ２次方程式と考えた場合、(ｘ－Α)(ｘ－Β)＝ｘ^２－(Α＋Β)ｘ＋ΑΒ＝０と表すことができます。
それが、ｘ^２＋ｂｘ＋２ａ＝０　と等しいので、
ｂ＝－(Α＋Β)
２ａ＝ΑΒ

ここで、Α＝α＋β、Β＝αβ、なので、
ｂ＝－(α＋β＋αβ)
２ａ＝(α＋β)αβ

α＋β＝－ａ、αβ＝ｂ、を代入すると

ｂ＝－(－ａ＋ｂ)
２ａ＝－ａｂ

これを解くと、
ａ＝－４
ｂ＝－２

になります。

回答No.1

aquatarku5

2次方程式x^2+bx+2a=0の解と係数の関係ですね。

-a+b=-b　→　a=2b
-ab=2a　→　a(b+2)=0

から、0でないa,bを求めればよいです。