数学の問題の解法教えてください＾＾；

質問

[問題]2つの2次方程式x^2+ax+b=0…(1) x^2+bx+a=0…(2)がただ1つの共通の解αをもつとき，αの値を求めよ。また，共通でない解の和を求めよ。

[自分の解]
xにαを代入してα^2を消去して、
α=1,a=bというところまでやってみたのですが、そこからがわかりません。まず、そこまで合っているのかもわかりません。
すみませんが、教えてください。

回答No.1

sinisorsa · ベストアンサー

f(x)=x^2+ax+b
g(x)=x^2+bx+a
と置きます。
f(x)=g(x)=0より、　(a-b)x+(b-a)=0
(a-b)(x-1)=0
a=bはf(x)とg(x)が一致するため、共通解が１つに矛盾する。
（このようにa=bを排除します）
従って、x=1　これが、αです。
f(1)=1+a+b=0
f(x),g(x)を(x-1)で割ると、
f(x)=(x-1)(x+(a+1))+(1+a+b)=(x-1)(x+(a+1))
g(x)=(x-1)(x+(b+1))+(1+a+b)=(x-1)(x+(b+1))
共通でない方の解の和は
　-(a+1)-(b+1)=-(a+b+2)=-1
となります。

お礼

ありがとうございます。
助かりました＾＾