二次方程式の問題

質問

この問題を解く手順を教えてください。
質問者は高2です。

実数a,bを係数とする二次方程式x^2+ax+b=0の解をα,βとする。
1/αと1/βを解に持つ二次方程式がx^2+bx+a=0のとき、a,bの値を求めよ。

回答No.3

mmegganne · ベストアンサー

実数a,bを係数とする二次方程式x^2+ax+b=0の解がα,β
なので、解と係数の関係より、
α+β=-a,αβ=b

1/αと1/βを解に持つ二次方程式がx^2+bx+a=0
なので、解と係数の関係より、
1/α+1/β=-b,1/αβ=a

これを解くと、a=1,b=1

回答No.2

ereserve67

a=0とすると，第2の方程式がx=0,-bを解にもち，これらはどちらも0でない1/α,1/βと一致しない．ゆえに，a≠0

解と係数の関係より，

α+β=-a,αβ=b

1/α+1/β=-b,(1/α)(1/β)=a

下の2式を書き直すと

(α+β)/(αβ)=-b,1/(αβ)=a⇔α+β=-b/a,αβ=1/a

上の式と比較して

-a=-b/a,b=1/a⇔a^2=b,ab=1∴a^3=1,a=1∴b=1

※a=b=1のとき与えられた方程式はともにx^2+x+1=0となり，この解はx^3=1の虚数解の一つをωとすると，ω，ω^2であることが知られています．そして，次の式が成り立ちます．

ω^3=1,ω^2+ω+1=0

さてα=ω，β=ω^2としてよく，1/α=ω^3/ω=ω^2=β，1/β=ω^3/ω^2=ω=αとなり，整合します．

回答No.1

alice_44

ひとつめの方程式の両辺を xx で割ると、
b:a:1=1:b:a であることが判る。
a=bb かつ b=aa を解いて、a=b=1。
α と β が実数でないが、いいのか？