解の範囲

質問

a,bは実数とする。2次方程式x^2+ax+b=0が0＜x＜1、1＜x＜2の範囲に１つずつ解をもつ。
このとき、2次方程式x^2+bx+a=0は実数解をもつことを示し、大きい方の解のとり得る値の範囲を求めよ。

という問題があります。
どれだけ考えても解き方が分かりません。
誰か教えて下さい。

ちなみに答えは　1＜x＜√2です

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

←No.1 補足
いいですね。
f(x) に関する処理は、それで完璧。
f(0)>0 かつ f(1)<0 かつ f(2)>0 が、
単なる必要条件ではなく、
必要十分条件であることも、解りますね？
詰ったのは、(1)の処理で、特に理由もなく
判別式=0 と置いて(2)としてしまったから。
(1)が実数解を持つ条件は、判別式≧0
のはずです。判別式≧0 を表す領域を、
先の f(x) に関する条件を図示した ab 平面に
併せて描き込み、f(x) の条件を表す三角形が
(1)の条件を表す放物線の片側にスッポリ入る
ことを見せれば、前半の証明は完成します。

後半については、(1)を abx 空間の曲面と捉え、
その ab 平面への正射影を描くために
曲面の方程式(1)を x で偏微分してみれば、
補足に書かれた予備校の説明が導けます。
「包絡線」という考え方なのですが、
偏微分を習っていない学年に
このやり方を持ち込むのは、いかにも粗雑で、
説明に詰って、つい相手を考えずに
自分が楽なやり方を採ってしまった…
という印象が濃厚です。聞き流したほうがいい。

それよりも、x のひとつの値は(1)が表す
ab 平面上の直線に対応することに着目し、
よって、x の最小値と最大値は
f(0)>0 かつ f(1)<0 かつ f(2)>0 が示す
三角形の頂点に現われることを使えばよい。
三頂点の (a,b) を求めて、
そこでの x (大きい方)を計算すれば完了です。

お礼

わざわざご丁寧にありがとうございます。
お陰様で解決しました。

回答No.3

noname#128765

x^2+ax+b=0が0＜x＜1、1＜x＜2の範囲に１つずつ解をもつことから、
その解をα(0<α<1)、β(0<β<1)としてみる。
すると　　　
　　　　　　　　α^2+aα+b=0　・・・・・(ア)
　　　　　　　　β^2+aβ+b=0　・・・・・(イ)
(ア)についてα≠0なので両辺にαで割ってみると
　　　　　　　　α+b/α＋a=0 ・・・・・(ア)'
同様に(イ)についてもβ≠0よりβで割れて
　　　　　　　　β+b/β＋a=0　・・・・・(イ)'

(ア)'と(イ)'を足しで1/2かけると
(α＋β)/2＋b(α＋β)/2αβ＋a=0

さて、(α＋β)/2＝{(α＋β)/2αβ}^2＝(α＋β)^2/4(αβ)^2 となるα、βが存在すれば
それがx^2+bx+a=0の実数解だということが分かる。
(α＋β)/2＝(α＋β)^2/2(α＋β)＝(α＋β)^2/4(αβ)^2

⇔α＋β≠0より　4(αβ)^2-2(α＋β)=0

⇔βを固定して　4β^2α^2-2α-2β=0

αについて4β^2α^2-2α-2β=0の判別式D=1＋8β^3>0 より
βを任意に固定しても4β^2α^2-2α-2β=0なるαは異なる2つの実数解をもつ。
逆にαを0<α<1で任意に固定してβについての判別式をたてても同じ結果を得る。
よって
(α＋β)/2＝{(α＋β)/2αβ}^2＝(α＋β)^2/4(αβ)^2 となるα、βが存在することが分かった
ので、x^2+bx+a=0は必ず異なる2つの実数解をもつ。

お礼

お返事遅くなりました。
皆さんのお陰でよく理解できたのでありがとうございました。

回答No.2

info22_

f(x)=x^2+ax+b
と置くと、x^2 の係数が1で正なので、f(x)=0が
0＜x＜1、1＜x＜2の範囲に１つずつ解を持つことから
f(0)=b>0,
f(1)=1+a+b<0,
f(2)=4+2a+b>0
が同時に成り立たなくてはならない。
(a,b)の範囲は
-2a-4<b<-a-1 (b>0)　…(1)
これはab平面での三角形内部領域（境界は除く）を表す。
図を描いてみて下さい。

このとき
2次方程式 g(x)=x^2+bx+a=0
で(1)から　g(1)=1+b+a<0　で g(x)のxの2次の係数が1で正なので
g(x)=0 は 1より大きい解と小さい解を持つ。
1より大きい方の解は2次方程式の解の公式から
x=(-b+√(b^2-4a))/2(=h(a,b)>1とおく）
2x+b=√(b^2-4a)
(2x+b)^2=b^2-4a
4x^2+4bx=-4a
b=-(1/x)a-x
ab平面上でこの直線が(1)の領域を通過する条件から
h(-1,0)<x<h(-2,0)
∴1<x<√2

お礼

お返事遅くなりました。
お陰様で理解できました。
ありがとうございました

回答No.1

alice_44

答案だけ書いて見せても、恐らく何の意味もない。
そんなことで、貴方が類題を解けるようには、決してならないから。
どれだけ考えたんだかを、補足に書こうよ。
それを見れば、貴方に何を教えればいいのか考えるヒントになる。
すぐ書こう！
愚図々々していると、正解を書いてしまう回答者が現われる。

お礼

お返事ありがとうございます。
遅くなってしまいました。。。
x^2＋ax+b=0が0＜x＜1と1＜x＜2に一つずつ解を持つ。っていう前者の条件から
f(x)＝x^2+ax+bとおいて　f(0)>0　かつ　f(1)<o　かつf(2)>0を考えてまずab座標上に表してみました。

次に後者のx^2+bx+a＝0・・・(1)の式が実数解を持つので判別式を考えました。
b^2=4a　・・・(2)ですよね。
ここから　あれ、、どうしようか。。　となってしまいました。

「(1)をab座標系の直線とみなすと　その直線はつねに(2)に接しながら動く」

ってことを予備校の先生から教わったので　それにのっとって話しを進めると
直線(1)が　条件として求めたabの領域に接するような範囲を求めて・・・

と考えはつくのですが　機械的な技を教わっただけで意味を理解してないので論理的に考えようとすると頭打ちなんです。

また他の方の解答の中身は見てません。

よければお返事下さい。