２次方程式の解と係数の関係に関する問題
- ２次方程式ｘ^2＋ａｘ＋ｂ＝０が０でない解α、Βをもち、α^2＋Β^2＝３、１／α＋１／Β＝１が成り立つとき、実数ａ、ｂの値を求める問題です。
- 解と係数の関係より、α＋Β＝－ａ、αΒ＝ｂとなります。
- 求める２次方程式は、ｘ^2－３ｘ＋３＝０、ｘ^2＋ｘ－１＝０の２つで、実数解を持つことが分かります。
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２次方程式。解と係数の関係の問題
「２次方程式ｘ^2＋ａｘ＋ｂ＝０が０でない解α、Βをもち、α^2＋Β^2＝３、１／α＋１／Β＝１が 成り立つとき、実数ａ、ｂの値を求めよ」という問題ですが、 解と係数の関係より、α＋Β＝－ａ、αΒ＝ｂ よって、α^2＋Β^2＝（α＋Β）^2－２αΒ＝ａ^2－２ｂ＝３ １／α＋１／Β＝(α＋Β)／αΒ＝－ａ／ｂ＝１より、（ａ、ｂ）＝（－３、３）、（１、－１）と計算できます。 答えも（ａ、ｂ）＝（－３、３）、（１、－１）となっていますが、 実際に（ａ、ｂ）を使ってできる２次方程式は、 ｘ^2－３ｘ＋３＝０・・・・・(1)、ｘ^2＋ｘ－１＝０・・・・・(2)の２つで、 (1)について解くとｘ＝（３±√－３）／２、(2)ついて解くとｘ＝（－１±√５）／２となり、(1)が虚数解と なりますが、問題で、０でない実数解α、Βをもつとなっているので、虚数解でも問題ないとのこと でしょうか？ ちなみに、(1)の解だと１／α＋１／Β＝１は成り立ちません。 α＝３＋√－３、Β＝３－√－３とおいて、 １／（３＋√－３）／２＋１／（３－√－３）／２＝２／（３＋√－３）＋２／（３－√－３）（有理化？）して （２（３－√－３）＋２（３＋√－３））／（３－√－３）（３＋√－３）＝（６＋６）／（９－３）＝２で成り立ちません。 出展：武蔵工大
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＞「２次方程式ｘ^2＋ａｘ＋ｂ＝０が０でない解α、Βをもち、α^2＋Β^2＝３、１／α＋１／Β＝１が成り立つとき、実数ａ、ｂの値を求めよ」という問題ですが、 ＞問題で、０でない実数解α、Βをもつとなっているので、虚数解でも問題ないとのことでしょうか？ もし問題にα、Βが実数解と書かれているなら2次方程式(1)のｘ＝（３±√－３）／２では支障があります。でも質問欄の1行目には「解α、Βをもち」と書かれていますよ。 この記述でしたらα、Βが実数解でも虚数解でも差し支えありません。 {√(-3)}^2は2乗して-3になる数を2乗しているのですから-3になります。（{√(-3)}^2=-3） ここを誤って+3と計算してしまったので１／α＋１／Β＝２となってしまいました。 正しく計算すれば1になりますよ。
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