２次方程式。解と係数の関係の問題

質問

「２次方程式ｘ^2＋ａｘ＋ｂ＝０が０でない解α、Βをもち、α^2＋Β^2＝３、１／α＋１／Β＝１が

成り立つとき、実数ａ、ｂの値を求めよ」という問題ですが、

解と係数の関係より、α＋Β＝－ａ、αΒ＝ｂ

よって、α^2＋Β^2＝（α＋Β）^2－２αΒ＝ａ^2－２ｂ＝３
１／α＋１／Β＝(α＋Β)／αΒ＝－ａ／ｂ＝１より、（ａ、ｂ）＝（－３、３）、（１、－１）と計算できます。

答えも（ａ、ｂ）＝（－３、３）、（１、－１）となっていますが、

実際に（ａ、ｂ）を使ってできる２次方程式は、

ｘ^2－３ｘ＋３＝０・・・・・(1)、ｘ^2＋ｘ－１＝０・・・・・(2)の２つで、

(1)について解くとｘ＝（３±√－３）／２、(2)ついて解くとｘ＝（－１±√５）／２となり、(1)が虚数解と
なりますが、問題で、０でない実数解α、Βをもつとなっているので、虚数解でも問題ないとのこと
でしょうか？

ちなみに、(1)の解だと１／α＋１／Β＝１は成り立ちません。

α＝３＋√－３、Β＝３－√－３とおいて、

１／（３＋√－３）／２＋１／（３－√－３）／２＝２／（３＋√－３）＋２／（３－√－３）（有理化？）して
（２（３－√－３）＋２（３＋√－３））／（３－√－３）（３＋√－３）＝（６＋６）／（９－３）＝２で成り立ちません。

出展：武蔵工大

回答No.2

Har-mo-nize · ベストアンサー

＞「２次方程式ｘ^2＋ａｘ＋ｂ＝０が０でない解α、Βをもち、α^2＋Β^2＝３、１／α＋１／Β＝１が成り立つとき、実数ａ、ｂの値を求めよ」という問題ですが、

＞問題で、０でない実数解α、Βをもつとなっているので、虚数解でも問題ないとのことでしょうか？

もし問題にα、Βが実数解と書かれているなら2次方程式(1)のｘ＝（３±√－３）／２では支障があります。でも質問欄の1行目には「解α、Βをもち」と書かれていますよ。
この記述でしたらα、Βが実数解でも虚数解でも差し支えありません。

{√(-3)}^2は2乗して-3になる数を2乗しているのですから-3になります。（{√(-3)}^2=-3）
ここを誤って+3と計算してしまったので１／α＋１／Β＝２となってしまいました。
正しく計算すれば1になりますよ。

お礼

計算ミスすみまでんでした。でも問題の解決に協力有難う御座いました。

回答No.3

asuncion

2/(3+√3i) + 2/(3-√3i)
= ((6-2√3i) + (6+2√3i)) / (9-3(i^2))
= 12 / (9+3)
= 1

お礼

計算ミス指摘スミマセン

回答No.1

DJ-Potato

最後の最後で間違えてます。

(3+√-3)(3-√-3)　=　3^2 - (√-3)^2
= 9 - (-3)
= 12

(6+6)/(9-(-3)) = 12/12 = 1です。

お礼

計算ミス指摘スミマセン