- ベストアンサー
解と係数の関係を使って・・・
簡単な答えだとは思うんですが、この問題で、 【問題】 xについての二次方程式x"-(a-1)x+a+6=0がつぎのような解をもつように実数aの値の範囲を求めよ。 →1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい この時の条件は(α-2)(β-2)<0の条件だけで この時D>0は成り立っている。となっているんですが、なぜなんでしょう? αβ<0の条件だったならば当然 D=(a-1)"-4(a+6)>0は、 αβ=a+6<0なので同時に成り立つのはわかるのですが。。 『X”(xの2乗です) α,βは解です。 グラフ利用ではなく解と係数の公式を使う場合です。(数II) 』
- uolto
- お礼率26% (49/186)
- 数学・算数
- 回答数7
- ありがとう数0
- みんなの回答 (7)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
多分こういう事ですか? (α-2)(β-2)<0 ならば D>0が成り立つ ※まで補足 2つの解αとβを持つ2次方程式は、 (x-α)(x-β)=0 つまりx^2-(α+β)+αβ=0と書ける この式で判別式を取ると (α+β)^2-4αβ =α^2+2αβ+β^2-4αβ =α^2-2αβ+β^2 =(α-β)^2 つまりD=(α-β)^2 となります。 注意はαとβは実数 ※ つまりあなたの質問がこう変わります。 (α-2)(β-2)<0 ならば (α-β)^2>0が成り立つ で、その証明 (α-2)(β-2)<0 ということは、 (α-2)と(β-2)が、符号が違う ということは 以下の2つの場合のみですよね。 i)α-2>0,β-2<0の時 α>2,β<2 α>2、-β>-2 つまり α-β=α+(-β)>2+(-2)=0 α-β>0 よって(α-β)^2>0 よってD>0 ii)α-2<0,β-2>0の時 α<2,β>2 α<2、-β<-2 つまり α-β=α+(-β)<2+(-2)=0 α-β<0 よって(α-β)^2>0 よってD>0 対偶を取ると簡単なのになぁ
その他の回答 (6)
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
No6です。 私だったら、ちょっとの手間を省くために余分なことに気を回すより、 こういう系の問題のときは 最初にDを計算しちゃいますね。 あいまいさを残しておくより、はっきりさせた方がずっと気分もいいし、 納得もいくというもんです。 おっしゃるように、時間もかからないし。
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
>この時の条件は(α-2)(β-2)<0の条件だけで >この時D>0は成り立っている。となっているんですが、 >なぜなんでしょう? これは x^2の係数が正のときの2次関数f(x)のグラフで、f(2)<0 としたことと同じことです。 f(2)<0ならば、グラフは2点で交わる(2実数解をもつ)、かつ、 1つの解は2より小さく もう一方は2より大きい。 さて、f(x)=0のときα、βを解にもつ2次関数は f(x)=(x-α)(x-β) と 表現できます。そこで、ここに x=2 を代入すると、(2-α)(2-β) で、 f(2)<0という条件のとき (2-α)(2-β)<0 -1を2回かけると (α-2)(β-2)<0 となります。 No1さんの補足で、 >3つの条件が必要となり判別式もいります。 これは、例えばα=3+i,β=3-i(iは虚数)という解のとき (α-2)+(β-2)≧0は (3+i-2)+(3-i-2)=2で 成り立つし、 (α-2)(β-2)≧0は (3+i-2)(3-i-2)=(1+i)(1-i) =2で成り立つ という場合が考えられるから、判別式を使わなくてはなりません。
再びごめんなさい。#1です 訂正: a+6-2(a-1)+4<0 -a+12<0 a>12 これはBを満たすからa>12を【答えとすることが出来る】
#1です。 どこで引っかかっているんだろう...もし解ったら指摘してもらえると嬉しいです。多分質問者様が 【(α-2)(β-2)>0がD>0根拠と考えている】のが問題なんだと思うのですが・・・【α,βを定義したことがD>0の根拠。但しこの方程式はaについて解かなくてはならない】 ====一応並び替えて解答を示すとこんな感じになります・・・========= 今x^2-(a-1)x+(a+6)=0という方程式がある。 仮定から二つの異なる解を持つからD>0でなければならない 【(α-2)(β-2)>0はまだ出てこず、関係がない。】 よって {-(a-1)}^2-4(a+6)>0・・・A (a-1)^2-4(a+6)>0 a^2-2a+1-4a-24>0 a^2-6a-23>0 (a-3)^2-32>0 (a-3)^2>32 a-3<-4√2またはa-3>4√2 a<3-4√2またはa>3+4√2・・・B 【つまり質問者様の補足どおりこれを求めるためにここで判別式を解く必要があります】 この条件を満たす時、二次方程式に二つの異なる実数解が存在する。 この時、この二つの実数解が定義できるからそれぞれαβとすると 問題文の方程式は (x-α)(x-β)=0 ⇔x^2-(α+β)+αβ=0と書ける 元の方程式との係数比較から α+β=a-1 αβ=a+6 であることが判明する。 仮定から (α-2)(β-2)<0 αβ-2(α+β)+4<0 a+6-2(a-1)+4<0 -a+8<0 a>8 これはBを満たすからa>8を【答えとすることが出来る】
補足
詳しい解説ありがとうございます。 わからない所が明確でなかったですね;; とりあえずわからなくなるまでの経路を説明してみます。 x^2-(a-1)x+a+6=0 もしこの方程式が異符号の解をもつのであれば条件は、 αβ=a+6>0が条件です。 判別式ももし考えたならD=(a-1)^2-4(a+6)>0 これは(a-1)^2>0だし、αβ>0の条件よりa+6<0なのでこの判別式の条件を無視しても勝手になりたちます。 でもこれはαβの時であって、この問題(1つの解は2より大きく他方は2より小さい)の条件は (α-2)(β-2)<0のみで、判別式はこのとき成り立っている。とかいてあったのです。 これはこの条件を満たすことで前者のようになぜ判別式D>0が成り立っているのかがわからないのです。。 解答には α<2<βまたはβ<2<αとなる条件は (α-2)(β-2)<0 ←このとき、D>0は成り立っている。 (以下は解答してくださった通り) 簡潔にいいますと、上の解答のD>0は成り立っている。とかいてある部分がなぜ(α-2)(β-2)<0をみたすことで判別式の条件をみたすのかがわからないのです;; それほどたいした問題ではないとおもいますが回答再びおねがいします。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
このようにテキストで表現する場合には「x の 2乗」を「x^2」と表現します. x" だと 2階微分ととられかねないので注意. でもとの問題を考えてみるんですが.... あれ? αβ < 0 のときはいいんですよね. だったら, もとの方程式で x = y+2 を代入して得られる新たな (y に関する) 2次方程式を考えればいいような.... ちなみに実係数代数方程式の複素解は必ず共役のものが対ででることを知っていれば, (α-2)(β-2) < 0 からは α, βとして実数しかとれないことがわかるので D = (α-β)^2 > 0.
補足
そうなんですか;;知りませんでした。。以後きをつけます。。 ぃゃ、解き方は確かにできるのですが、判別式の条件をぬかしていい意味がわからないんです;; x=y+2を入れたら余計とおまわりなような気がしますが。。(数学苦手なので変な事いってるかもしれません;;)
α,βという二つの異なる実数解が二次方程式から出てきた、と出題文から【仮定】できるからです。
補足
ん~それではこの問題の時は 【問題】 x”-2ax+a+6=0について次の条件をみたすような定数aの値を定めよ。 →2以上の2つの解をもつ この場合はD/4≧0,(α-2)+(β-2)≧0, (α-2)(β-2)≧0 の3つの条件が必要となり判別式もいります。(この場合はα=βで解が重解の場合がありますが。。) この場合でも同じ事がいえるのに判別式がいるのはどうしてでしょうか。。
関連するQ&A
- 解と係数の関係の問題です。
解と係数の関係の問題です。 2次方程式X二乗-4X-2=0の二つの解α、βについて、1/α二乗+1/β二乗をもとめよ、という問題です。 α+β=-b/a αβ=c/a を使えばよいと思うのですが、 1/α二乗 1/β二乗をどう直せばよいのでしょうか? お願いします。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解と係数の関係
xの3次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 の3つの解α、β、γとするとき解と係数の関係を書き、それを証明せよ。 というもんだいがあるのですが 解答をみると まず解と係数の関係を記す。 つぎに証明に入り 因数定理でa(x-α)(x-β)(x-γ)としてこれを展開して 恒等式として係数比較して。。。。。というながれがかいてあるのですが 私は解答の方法を思いつけず、 まず解と係数の関係を記す。 α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a これを変形して b=-a(α+β+γ) c=a(αβ+βγ+γα) d=-aαβγ としてはじめの3次方程式へ代入 ax^3-a(α+β+γ)+a(αβ+βγ+γα)-aαβγ=0 ここでx=α、β、γ を代入すると左辺=0=右辺となりこの方程式の解は x=α、β、γとわかる またこの方程式は3次方程式なので解の個数は高々3つ よってこの方程式の解はα、β、γのみ というふうに書いたのですがどうなんでしょうか? この問題は解がα、β、γならば α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a が成立 をしめすべきなのですが わたしの解答では α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a ならば 解はα、β、γ を示してしまっていると思います しかし「解がα、β、γのみ」と書いたので 解がα、β、γのならば α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a という逆も示せているのではないかとも思います 自分ではよくわかりませんのでどなたか教えていただきませんか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 2次方程式。解と係数の関係の問題
「2次方程式x^2+ax+b=0が0でない解α、Βをもち、α^2+Β^2=3、1/α+1/Β=1が 成り立つとき、実数a、bの値を求めよ」という問題ですが、 解と係数の関係より、α+Β=-a、αΒ=b よって、α^2+Β^2=(α+Β)^2-2αΒ=a^2-2b=3 1/α+1/Β=(α+Β)/αΒ=-a/b=1より、(a、b)=(-3、3)、(1、-1)と計算できます。 答えも(a、b)=(-3、3)、(1、-1)となっていますが、 実際に(a、b)を使ってできる2次方程式は、 x^2-3x+3=0・・・・・(1)、x^2+x-1=0・・・・・(2)の2つで、 (1)について解くとx=(3±√-3)/2、(2)ついて解くとx=(-1±√5)/2となり、(1)が虚数解と なりますが、問題で、0でない実数解α、Βをもつとなっているので、虚数解でも問題ないとのこと でしょうか? ちなみに、(1)の解だと1/α+1/Β=1は成り立ちません。 α=3+√-3、Β=3-√-3とおいて、 1/(3+√-3)/2+1/(3-√-3)/2=2/(3+√-3)+2/(3-√-3)(有理化?)して (2(3-√-3)+2(3+√-3))/(3-√-3)(3+√-3)=(6+6)/(9-3)=2で成り立ちません。 出展:武蔵工大
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解と係数の関係について
s^2 + t^2 =1のとき(t > 0とします) xの2次方程式 (1 + t^2)x^2 -2sx + (1-2t^2) =0 で判別式D=4s^2 -4(1+t^2)(1-2t^2)=2t^4 >0より2解が存在して で、このxの方程式の2解をα、βとして(α<β) α=(s-√2t^2)/(1+t^2) β=(s+√2t^2)/(1+t^2) より、β-α =2√2/(1+t^2) になると解答に記載されていて、これは理解できるのですが、 ここで解と係数の関係から、α+β=2s/(1+t^2)、αβ=(1-2t^2)/(1+t^2) ここで(β-α)^2 = (β-α)^2-4βαを計算して、β-αを求めるたのですが、値が違います。 解と係数の関係から求めた、αβ=(1-2t^2)/(1+t^2)の値と、普通に解の公式から、 求めたαβの積=(s^2-2t^4)/(1+t^2)^2と違っています。 この原因がわかりません、なんで「解の公式」から出した値と「解と係数の関係」から出した値が違うのですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数II、解と係数の問題
(1)二次方程式x^2+2mx+2m^2-5=0の一つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。 (2)二次方程式x^2+2mx+2m^2-5=0の2つの解がともに1より小さい (1)このとき、解と係数の関係を使って進めていくときに 解をα、βとするとなぜαβ>0という条件のみでいいんでしょうか D>0なのか、D<0のどちらですか。。そしてなぜそうなんでしょうか。 (2)解説には、2つの解が負のときと同じように条件をたてていますが、 1より小さい。だけじゃ、正か負かまだわからないきがするんですが・・。分数とかの場合は かんがえないんでしょうか。 D>0なのはわかりますが、なぜα+β<0 αβ>0?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二次方程式の解の絶対値二つともが1未満のとき
「x^2+ax+a=0 が異なる二つの実数解を持ち、その絶対値がいずれも1未満のとき、実数aの範囲を求めよ」という問題があり、私は 二つの解の絶対値がいずれも1未満より、この方程式の解α、βについて -1<α<1 -1<β<1がいえる これと、解と係数の関係より α+β=-a かつ αβ=a つまり -2<a<2 かつ -1<a<1、つまり-1<a<1である・・・(1) ここで、与えられた方程式は、二つの異なる実数解を持つので判別式をDとすると D=a^2-4a であるから a^2 - 4a >0 つまり 0>a a>4 である…(2) (1),(2)を同時に満たすaの範囲は-1<a<0 と、といたのですが、解答書では、f(x)=x^2+ax+aと置いて題意を満たすグラフを書いて そうなるための条件を満たすaを求めると言う解放で -0.5<a<0 となっていました 解答書の解法は理解できるのですが、私の解法で、不備な点はどこでしょうか? 教えてください!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解と係数の関係について
中学数学での質問です。 2次方程式の解と係数の関係で質問です。 この関係において α+β=-b/a αβ=c/a が成り立ちますよね。 そして、問題の回答に 解と係数の関係により α+β=-a が成り立つので。 と書いてあるのですが、なぜ成り立つのかが分かりません。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
ここまでの回答にまとめてコメントさせてもらいます。 なるほど。。詳しく説明してもらったおかげでなんとなく理論はわかりました。 でもαβ<0の時みたいに単純なものではないんですね;; これが最後の質問になるとおもいますが、 こういう系の問題がテストでてきた時って簡単に判別式がいるかいらないか見分ける方法ってありますか? まぁ、たいして求めるのに時間はくわないし判別式を求めたほうが無難なような気がしますが。。 短いコメントで申し訳ありませんが回答して頂いた方には気分がはれてとても深く感謝しています。