解と係数の関係について

質問

s^2 + t^2 =1のとき(t > 0とします)

xの２次方程式 (1 + t^2)x^2 -2sx + (1-2t^2) =0

で判別式D=4s^2 -4(1+t^2)(1-2t^2)=2t^4　＞０より２解が存在して
で、このｘの方程式の２解をα、βとして（α＜β）

α＝(s-√2t^2)/(1+t^2)
β＝(s+√2t^2)/(1+t^2)
より、β-α =2√2/(1+t^2)

になると解答に記載されていて、これは理解できるのですが、

ここで解と係数の関係から、α＋β＝２ｓ/(1+t^2)、αβ＝(1-2t^2)/(1+t^2)
ここで(β-α)^2 = (β-α)^2-4βαを計算して、β-αを求めるたのですが、値が違います。

解と係数の関係から求めた、αβ＝(1-2t^2)/(1+t^2)の値と、普通に解の公式から、
求めたαβの積＝(s^2-2t^4)/(1+t^2)^2と違っています。

この原因がわかりません、なんで「解の公式」から出した値と「解と係数の関係」から出した値が違うのですか？

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

＞普通に解の公式から、求めたαβの積＝(s^2-2t^4)/(1+t^2)^2

s^2 = 1 - t^2 を代入する。
= (1 - t^2 - 2t^4) / (1 + t^2)^2
= (1 + t^2)(1 - 2t^2) / (1 + t^2)^2
= (1 - 2t^2) / (1 + t^2)

何もおかしくないような気がします。

補足

どうもありがとう。では

より、解の公式から導いたβ-α =2√2t^2/(1+t^2)です。
(上記の質問で、t^2が抜けていますが、訂正します)

α＋β＝2s/(1+t^2)、αβ＝(1-2t^2)/(1+t^2)

(β-α)^2 = （β＋α）^2 - 4αβ = (4s^2 + 8t^2-4)/(1+t^2)^2= (4s^2 + 4t^2 + 4t^2-4)/(1+t^2)^2
となるので、β-α = 2t/(1+t^2)となってしまいます。(β-α>0より)

これはなぜですか？

回答No.2

j-mayol

計算ミスです。再度落ち着いて計算なさることをお勧めします。

補足

はい、いまわかりました。２乗してないといけないところを２乗していない凡ミスに気が付きました。
ありがとう