解と係数の関係

質問

2次方程式 x^2＋2mx＋6－m＝0 が、1より大きい異なる２つの実数解を持つとき、定数mの値の範囲を求めよ。
という問題で、
判別式より m＜－3,2＜m ・・・(1)
α＞1 かつ β＞1 より
α＋β＞2　αβ－(α＋β)＋1＞0
α＋β＝－2m　αβ＝6－m
よって、－7＜m＜－1
ここで質問です、αβ－(α＋β)＋1＞0,をαβ＞1,となぜしてはいけないのですか？

回答No.4

rinri503 · ベストアンサー

ＮＯ２ですが、理解しておられると思いましたので要点だけ書きましたが、丁寧に説明しますと、次のとおり
　解が正負、正正、負負の場合の解き方は、軸で考える場合と和と積で考えるのと２とおりあります。
　今回は、和と積で考える場合ですから
　　　判別式、と　α，βの積、和の３条件で決めるのです　　　が、参考書によく載っている
　　　　α＋β＞０　　　αβ＞０　というのは基準点を原点
　　　　０を基準にしているので、正確には
　（α－０）＋（β－０）＞０　（α－０）（β－０）＞０
　　と解釈すべきです

　したがって　今回は基準点が１ですから
　　（α－１）＋（β－１）＞０　（α－１）（β－１）＞０
　　今回の疑問点は、不等式の問題と混同してしまってい　　ます。単なる不等式としても、
　　　αβ＞１　⊆　（α－１）（β－１）＞０
　　　　と思います

お礼

返信ありがとうございました。

回答No.3

tarame

「α＞0 かつ β＞0」⇔「α＋β＞0 かつ αβ＞0」であることから
おそらく
「α＞1 かつ β＞1」⇔「α＋β＞1+1 かつ αβ＞1*1」
と考えたのかと思いますが、
「α＋β＞2 かつ αβ＞1」でも「α＞1 かつ β＞1」であるとは限りません。
（例　α＝4,β＝1/2）

したがって、この場合は
「α＞1 かつ β＞1」
⇔「α－1＞0 かつ β－1＞0」
⇔「(α-1)＋(β-1)＞0 かつ (α-1)(β-1)＞0」とします。

回答No.2

rinri503

ｘ軸に左から０，Ａ，１，Ｂ，Ｃ，Ｄと
点をとるとき

　　　　Ａ点とＣ点をとおる場合を除くためです
　　　　確実にＢ，Ｄをとおるためには
　　　（α－１）（β－１）＞０が必要
　　　（α－０）（β－０）＞０　ではダメ

回答No.1

kansai_daisuki

αβ＞1を採用したときに、

αβ(=6-m)>1
⇔5-m>0
⇔5>m
これでは、
－7＜m＜－1
ではなくて、
m＜－1
までしか限定できないからですね。

よって、
(α－1)(β－1)＞0
において、
(左辺)
=α(β－1)－(β－1)
=αβ－α－β＋1
=αβ－(α＋β)＋1
とした方が、解が限定できるからですね。

ゆえに、
α＞1 かつ β＞1 より
和：α＋β＞2
積：(α-1)(β-1)＞0
として、解を限定しているんですね。