判別式と解と係数の関係について

質問

「2次方程式 x^2+kx+k-1=0 が正と負にそれぞれ一つ解をもつとき、定数kの満たす範囲を書け」
という問題があります。
答えはk<1です。

判別式D=b^2-4ac>0より、範囲が2を含まないことはわかるのですが
解と係数の関係αβ=a/cより　k-1<0＝k<1　という部分がわかりません
正と負に解をもつということで0未満というのはいいのですが、なぜa/cがk-1となるのでしょうか
k-1は判別式のacの部分ですが、これはa/cとは別物ですよね？

そもそも注目すべき部分が違うのでしょうか

回答No.4

87c567d7

y=0の時x=-k+√(k^2-4k+4)/2,-k-√(k^2-4k+4)/2
xの解が前者ならx<0,後者なら０<x,
k^2-4k+4は非負なので考えなくていいです。
両方の条件が当てはまるなら答えは出ると思います。

回答No.3

noname#146456

入力ミス

今の場合
a=1
b=k
c=k-1
となっているので

＞α/β=c/a=(k-1)/1=k-1

となります。

＞の部分でミスしました。
正しくは
αβ=c/a=(k-1)/1=k-1
です。

回答No.2

noname#146456

【2次方程式の解と係数の関係】
xの2次方程式
ax^2+bx+c=0
の実数解をα、βとおくと
α+β=-b/a
αβ=c/a
が成り立ちます。

今の場合
a=1
b=k
c=k-1
となっているので
α/β=c/a=(k-1)/1=k-1
となります。

正と負の解を持つと言うのは要するに異符号の解を持つ
と言うことになります。

したがって異なる2つの実数解をα、βとおくと異符号の
2数の積はマイナスになるので
αβ＜0
が成り立ちます。

すると解と係数の関係より
αβ=(k-1)/1=k-1
となるので

αβ＜0⇔k-1＜0
となります。

そしてこのような異なる2つの実数α、βが存在する条件は
（判別式）=k^2-4(k-1)=k^2-4k+4=(k-2)^2＞0
となるのでk-2≠0となります。

よって求めるkの条件は
k-1＜0かつk-2≠0
⇔k＜1
となります。

回答No.1

asuncion

＞解と係数の関係αβ=a/c

間違っています。