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解の存在する範囲
///問題/// xの2次方程式 x^2+2ax+4a^2+2a=0 (aは実数の定数)がある。 この方程式の実数解のとり得る値の範囲を求めよ。 ///解答/// この方程式の実数解をαとすると、代入して α^2+2aα+4a^2+2a=0 aについて整理すると 4a^2+2(α+1)a+α^2=0 求めるものは、この方程式を満たす実数解aが存在するような実数αの条件である。 よって、aの方程式と考えて判別式をDとすると D≧0 D/4=(α+1)^2-4α=-3α^2+2α+1であるから -3α^2+2α+1≧0より 3α^2-2α-1≦0 (3α+1)(α-1)≦0をといて -1/3≦α≦1 したがって、実数解の存在する範囲は-1/3≦x≦1 なんでaについて整理するんでしょうか？ xについてじゃだめなんですか？ あと問題文の ＞この方程式の実数解のとり得る～ のあたりもよくわからなくなってきました。 実数解ってグラフにしたときにx軸と放物線がくっつくところと考えてたんですけど違うんでしょうか…？
- itsukibou
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- FEX2053
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Y=x^2+2ax+4a^2+2a という式を考えると、aによって２次曲線の形が変わりますよね。 ですので、aを垂直軸に取った３次元のグラフを考えると、ウニュ ウニュと曲がっているわけです。 で、この問題ではY=0の場合しか考えなくて良いので、こいつをaとX の平面（Y=0）ですっぱり切って考えれば良いと。この後の式は別に Xのままで考えてもいいんですけど、「考え直した」という意味から Xの代わりにαを置いたわけです。 そうすると縦軸はaですから a=f(α) の方程式になるんです。 後はこいつを解けば良い・・・と、こうなるわけです。
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- take_5
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さっきは時間がなかったので。。。。。。笑 ＞なんでaについて整理するんでしょうか？xについてじゃだめなんですか？ xについての判別式では、実数解を持つための条件になる。 求めるものは、実数解の値の範囲。全く違うだろう。おそらく、xは変数で、aは定数という固定観念があるんだろう。 この場合は反対、aが変数でxが定数と考えたらわかりやすいかな？ 又、xについて方程式の判別式からaの条件が出るが、そのaの範囲の解を持つ条件を求める必要があるという人がいる。 それは全く無用です。 -1/3≦α≦1の範囲のxに対して、aの方程式から定まる実数aが解を持つための条件を満たさなければ、それはxについての方程式の判別式＜0なのに実数解を持つことを意味する。 ついでに、別解を。。。。。。笑 xの2次方程式 x^2+2ax+4a^2+2a＝0の2つの解をα、βとすると、解と係数の関係から、α＋β＝-2a、αβ＝4a^2+2a。 ここからaを消去すると、α＾2＋β＾2＋αβ-（α＋β）＝0. βについてそろえると、β＾2＋（α-1）β＋（α＾2-α）＝0. βは実数から判別式≧0より、-1/3≦α≦1。βについても平等から、-1/3≦β≦1。従って、-1/3≦x≦1。 この問題はαとβが平等だが、α≧βという条件があるとちょっと難しくなる。
質問者からのお礼
ありがとうございました
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- take_5
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＞なんでaについて整理するんでしょうか？xについてじゃだめなんですか？ 駄目だね。xの値の範囲を求めるのに、なんでxに揃えるの？ 考えにくければ、次のようにやったら良い。 aについて整理すると y＝4a^2+2(α+1)a+α^2＝4{a＋（α+1）/4}＾2＋（3α＾2-2α-1）/4。 従って、関数：y＝4{a＋（α+1）/4}＾2＋（3α＾2-2α-1）/4がy＝0と交点を持つ（即ち、実数解を持つ）のは、3α＾2-2α-1≦0. これが、判別式≧0と同じである事くらいは知ってるだろう。 他にも解法があるが、この問題についてはかえって面倒になるから省略。。。。。。。笑
質問者からのお礼
ありがとうございました
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- sanori
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こんにちは。 ＞＞＞なんでaについて整理するんでしょうか？ 問題文にある「aは実数の定数」を満たす条件を探すことを主眼においているためです。 ＞＞＞xについてじゃだめなんですか？ ダメということではないですよ。 ｘ^2 ＋ ２ａｘ ＋ ４ａ^2 ＋ ２ａ ＝ ０ （ｘ＋ａ）^2 － ａ^2 ＋ ４ａ^2 ＋ ２ａ ＝ ０ （ｘ＋ａ）^2 ＋ ３ａ^2 ＋ ２ａ ＝ ０ ｘ ＝ －ａ ± √（－３ａ^2 － ２ａ） ＝ －ａ ± √｛－ａ（３ａ ＋ ２）｝ ここで、実数ａを動かして、ｘの変域を求めればよいわけです。 途中で微分を使うことになりそうです。 これで解けますけど、模範解答のほうがエレガントですね。
質問者からのお礼
ID消失してました！；； ありがとうございました よくわかりました
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ありがとうございました