解と係数の関係

質問

1.2次方程式2x^2+ax+b=0の2つの解が-3、aであるとき、定数a、bの値を求めよ。

2.x^2+3x-6=0の2つの解をα、βとするとき、
2α+β、α+2βを解とする2次方程式を1つ作れ。

これらの問題はどうやって解いたらいいですか？

回答No.2

eeb33585 · ベストアンサー

(1)二次方程式の解と係数の関係から
　仮に二つの解をα、βとおけば
　α+β=-a/2
　α×β=b/2
　これに
　α=-3
　β=a
　を代入して
　a=2
　b=-12
(2)x^2+3x-6=0の解と係数の関係から
　α+β=-3・・・(1)
　α×β=-6・・・(2)
　求める二次方程式(解2α+β、α+2β)も同様に
　(2α+β)+(α+2β)=3(α+β)・・・・・・・・(3)
　(2α+β)×(α+2β)=2α^2+4αβ+2β^2+αβ=2(α+β)^2+αβ・・・(4)
　(1)(2)を(3)(4)に代入して
　(3)=-9
　(4)=12
　よって求める二次方程式は
　X^2+9X+12=0

お礼

ありがとうございます＾＾

回答No.1

gohtraw

２ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝２（ｘ＋３）（ｘ－ａ）とおいて右辺を展開し、係数を比較すると
－６ａ＝ｂ
２（３－ａ）＝ａ
これを解けばＯＫです。

求める方程式の解の和は
２α＋β＋α＋２β＝３（α＋β）・・・（１）
求める方程式の解の積は
（２α＋β）（α＋２β）＝２α＾２＋５αβ＋２β＾２
　　　　　　　　　　＝２（α＋β）＾２＋αβ・・・（２）
元の方程式の解と係数の関係から
α＋β＝－３
αβ＝－６
なので上記の二式の値は
（１）＝－９
（２）＝１２
となり、求める方程式は
ｘ＾２＋９ｘ＋１２＝０

お礼

ありがとうございます＾＾