３次方程式

質問

３次方程式x^3+(a+5)x^2+(2a+b+12)x+a^2+b=0(a,b,は実数の定数)はx=-2を解に持っている。

この方程式が虚数解α，βを持ち、α^2+3αβ+β^2=11が成り立っている。このときのaの値を求めよ。また、β^2+3β+4αの値を求めよ。

この問題を教えてください。
x+2を因数にもつので、(x-2){x^2+(a+3)x+(a^2-6)}=0となり、{x^2+(a+3)x+(a^2-6)}=0が虚数解をもてばいい、というところまでわかりましたが、ここから先が分からないので教えてください。

回答No.6

kkkk2222 · ベストアンサー

>>　x^3+(a+5)x^2+(2a+b+12)x+a^2+b=0
>>　x=-2
>>　f(x)=x^3+(a+5)x^2+(2a+b+12)x+(a^2+b)
>>　f(-2)=(-8)+4(a+5)-2(2a+b+12)+(a^2+b)=0
>>　-8+4a+20-4a-2b-24+a^2+b=0
>>　a^2-12=b
>>　x^3+(a+5)x^2+(a^2+2a)x+(2a^2-12)=0

>>　1,a+5,a^2+2a,2a^2-12|-2
>>　　　-2,　-2a-6,-2a^2+12　
>>　1,a+3, a^2-6,　　　　　0

>>　(x+2){x^2+(a+3)x+(a^2-6)}=0
>>　{x^2+(a+3)x+(a^2-6)}=0
>>　α^2+3αβ+β^2=11

　　(α+β)^2+αβ=11
　　解と係数の関係で、
　　　　(α+β)=-(a+3)
　　　　　　αβ=(a^2-6)
　(a+3)^2+(a^2-6)=11
　a^2+6a+9+a^2-6=11
　2(a^2)+6a-8=0
　2(a^2)+6a-8=0
　(a^2)+3a-4=0
　(a+4)(a-1)=0
　a=1,-4

　　　　　　　a=1のときは、
{x^2+4x-6)}=0、実数解となるので適さない。
　　　　　　　a=-4のときは、
{x^2-x+10}=0、虚数解となるので適する。

　　最初に、
{　x^2+(a+3)x+(a^2-6)}=0
　　　　　　　　　　　　　D＜0
　　　(a+3)^2-4(a^2-6)＜0
　　a^2+6a+9-4a^2+24＜0
　　　　　　-3a^2+6a+33＜0
　　　　　　　　a^2-2a-11＜0
　　a＜1-2√3、1+2√3＜a
　と、aの範囲を定めて置いても良いけれど、
　聊か面倒な気もします。
------------

　{x^2-x+10}=0
　p=β^2+3β+4α

　一見、対称式に見えませが、

　β^2-β+10=0 を利用して変形すると、
　対称式になります。

　p=(β^2-β+10)-10+(4β+4α)
　　=-10+4(α+β)=-10+4=-6
----
是に気が付かないと、場合分けも発生して、
（１）　α=[(1+√39i)/2],β=[(1-√39i)/2]のとき、
p=β^2+3β+4α
=[(-19-√39i)/2]+3[(1-√39i)/2]+4[(1+√39i)/2]
=[(-19-√39i)/2]+[(3-3√39i)/2]+[(4+4√39i)/2]
=・・・
（２）　α=[(1-√39i)/2],β[(1+√39i)/2]のとき、
p=β^2+3β+4α
=[(-19+√39i)/2]+3[(1+√39i)/2]+4[(1-√39i)/2]
=[(-19+√39i)/2]+[(3+3√39i)/2]+[(4-4√39i)/2]
=・・・

回答No.7

take_5

この問題は、初めから3次方程式の解と係数の関係を使っても出来る。
その方法は、自分で確かめてみると良いだろう。

＞β^2+3β+4αの値を求めよ。

この部分だけ別解を示しておく。
この2次方程式は、x＾2-x＋10＝0。即ち、β＾2－β＋10＝0である。
解と係数の関係よりα＋β＝1であるから、β^2＋3β＋4α＝β^2＋3β＋4*（1－β）＝β＾2－β＋4＝-6.　何故なら、β＾2－β＋10＝0。

回答No.5

take_5

x＝-2を解に持っているから、方程式に代入するとb＝a＾2-12‥‥(1)
実係数の2次方程式：x^2+(a+3)x+(a^2-6)＝0の2つの解は、共役な複素数解：α＝m+ni、β＝m-ni（mとnは共に実数、iは虚数単位）と置ける。
ここで解と係数の関係より、α＋β＝2m、αβ＝m＾2＋n＾2‥‥(1)
α^2+3αβ+β^2＝（α＋β）＾2＋αβ＝（2m）＾2＋（m＾2＋n＾2）＝11‥‥(2).
(1)よりα＋β＝2m＝-(a+3)、αβ＝m＾2＋n＾2＝a^2-6であり、α^2+3αβ+β^2＝（α＋β）＾2＋αβ＝（a+3）＾2＋（a^2-6）＝11となり、and、
mとnは共に実数よりa^2-6≧0‥‥(3).
以上からこれを解くとa＝-4、従って、b＝a＾2-12＝4.
結果、この方程式は、x＾-x＋10＝0。即ち、β＾2－β＋10＝0であるから、β＾2＝β-10。
β^2+3β+4α＝β-10＋3β+4α＝4（α＋β）-10＝4-10＝-6.

回答No.4

key-boy

No3です。
言い忘れました
(a+3)^2-4(a^2-6)＜０の条件を忘れないでください。

回答No.3

key-boy

他の回答者さんが言われるように
α＋β＝－（a+3)
αβ＝a^2-6
とα^2+3αβ+β^2=11より
（α＋β)^2+αβ=11に代入すればaは求められると思います。

回答No.2

Tacosan

計算がおかしいような気はするけどそれはさておき,
α^2 + 3αβ + β^2 = 11 に対して解と係数の関係から a の方程式を作ってください. 虚数解であることから a に条件が付くことにも注意.

補足

b=a^2=12でbを消去してから計算したので、合ってると思いますが。

回答No.1

sanori

こんばんは。

判別式＜０
つまり、
（ａ＋３）^2　－　４（ａ^2 －６）　＜　０
という条件で求めることができると思いますが。

（検算はしていません）