実数解

質問

３つの２次方程式は少なくとも１つは実数解を持つことを示す問題です。
だたし、a,b,cは実数とします。
(x＾2)＋3ax＋2b-1=0 …(1)
(x＾2)＋2bx＋2c-1=0　…(2)
(x＾2)＋2cx＋2a-1=0　…(3)

(1)の判別式は
D/4=(a＾2)-2b＋1
(2)の判別式は
D/4=(b＾2)-2c＋1
(3)の判別式は
D/4=(c＾2)-2a＋1
となりましたがどのようにして少なくとも１つは実数解ということを探すのでしょうか？

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

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＜少なくとも＞と書いてあれば、＜背理法＞＜余事象＞と連想出来れば良いのですが・・・
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３式が全て実数解を持たないと仮定する。

(a＾2)-2b＋1＜０
(b＾2)-2c＋1＜０
(c＾2)-2a＋1＜０
辺々を加えて
(a＾2)＋(b＾2)＋(c＾2)ー２（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋３＜０
此処で次のように変形できる。
（Ａ－１）＾２＋（Ｂ－１）＾２＋（Ｂ－１）＾２＜０

矛盾が生じ、
３つの２次方程式は少なくとも１つは実数解を持つ。
が成立する。
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回答No.5

noname#47975

２次関数のグラフより、
それぞれが解を持たないのであれば、

任意のｘに対してそれぞれ、

x^2 + 2ax + (2b-1) > 0　(1)
x^2 + 2bx + (2c-1) > 0　(2)
x^2 + 2cx + (2a-1) > 0　(3)

にならなければなりません。
そして、(1)+(2)+(3)より

3x^2 + 2(a+b+c)x + 2(a+b+c)-3　(4)

が得られます。

ここで、任意のxに対して(1)>0,(2)>0,(3)>0ならば、
任意のxに対して (4)>0すなわち(1)+(2)+(3)>0にならなければ
なりませんが、

x = -1を(4)式に代入すると、
0になるので矛盾する。

お礼

沢山の解説どうもありがとうございました。
沢山のコメントがあって驚きました
親切にしていただきどうもありがとうございました。

回答No.3

komimasaH

判別式を全部足すと(a-1),(b-1),(c-1)の二乗和になります。

回答No.2

m_ik_e

＞(x＾2)＋3ax＋2b-1=0 …(1)
　(x＾2)＋“２”ax＋2b-1=0 …(1)
ですよね

解の方程式から、解は(1)では
ｘ＝-b±√(a^2-2b+1)
　＝-b±√(D/4)
ですよね

・Ｄ＝０
は重解です。解は一つですね
ｘ＝-b
・Ｄ＜０
は虚数になります。実数解は存在できません
ｘ＝-b+i√|D/4|，-b-i√|D/4|
で、iがつきます
・Ｄ＞０
は、実数二つの解です
ｘ＝-b+√(D/4)，-b-√(D/4)

よって、少なくともひとつ、というならば
Ｄ≧０ということになります

回答No.1

sanori

(x＾2)＋3ax＋2b-1=0 …(1)
は、
(x＾2)＋2ax＋2b-1=0 …(1)
の書き間違いですよね？

本題。

３つの方程式の最低限いずれか１つに実数解があればよいのですね？

「少なくとも１つは実数解を持つ条件」の逆の条件、
すなわち、
「実数解が１つも存在しない条件」
を考えましょう。
すると、その、「逆の条件の逆」が求める条件（少なくとも１つは実数解を持つ）になります。

(a＾2)-2b＋1＜０
かつ
(b＾2)-2c＋1＜０
かつ
(c＾2)-2a＋1＜０

が「逆の条件」です。