高校数学の質問です。難しいです。

質問

こんばんは、高校数学の問題でさっぱり検討もつかない問題がありましたのでここで教えて頂きたいと思って質問しました。3つ答えていただけるとありがたいですが、どれも歯ごたえがあり、難しいのでどれか一つだけでも嬉しいです。

以下の2問です

(1)aを実数とする。xについての方程式
　｜ｘ^2+ax+2a｜=a+1
が異なる実数解をちょうど2個持つようなaの値の範囲を求めよ

(2)u,vを実数とし、xの2次方程式x^2-2ux+1-v^2=0の実数解α、β（α≦β）が
｜α｜+β＜4を満たしている、点（u,v)の存在する範囲を求めよ

(3)xに関する方程式
（x^2+ax+b)(x^2+bx+a)=0
が4個の異なる実数解を持つような実数a,bの条件を求め、点（a,b)の存在する範囲を求めよ。

以上3問となりますが、どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

gohtraw

（１）
ｆ（ｘ）＝｜ｘ^2+ax+2a｜、そしてｇ（ｘ）＝ｘ＾２＋ａｘ＋２ａ　とします。ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフと直線ｙ＝ａ＋１の交点が二個になるようなａの範囲を求めればいいことになります。

　(1)二次方程式ｇ（ｘ）＝０の判別式がゼロ以下の場合
　　この場合、ｙ＝ｇ（ｘ）のグラフはｘ軸と交わらない、言い換えればｇ（ｘ）の値は常にゼロ以上なの　　で、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフはｙ＝ｇ（ｘ）のグラフと同一になります。従って、ｙ＝ｇ（ｘ）のグラフ　　の頂点のｙ座標がａ＋１より小さければ、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフはｙ＝ａ＋１と二点で交わることにな　　ります。この場合ｙ＝ｇ（ｘ）のグラフの頂点はｙ＞＝０の領域にあるので、ａ＋１＞０であることも　　要求されると思います。
　　　また、元の方程式はｇ（ｘ）＝ａ＋１と書き換えられるのでこれをｘの二次方程式と考え、二つ　　　　の実数解を持つ条件を求めても解くことが出来ます。

　(2)ｇ（ｘ）＝０の判別式が正の値をとるとき
　　この場合ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフは、ｙ＝ｇ（ｘ）のグラフのｘ軸よりも下の部分をｘ軸で折り返した形　　になります。従って、この折り返した部分が直線ｙ＝ａ＋１と交わらないか、ａ＋１＝０であればｙ＝　　ｆ（ｘ）のグラフと二点で交わる（あるいは接する）ことになります。交点はｙ＝ｇ（ｘ）のグラフの　　正の部分か、ｘ軸上の二点です。

（２）係数と解の関係から
αβ＝－ｖ＾２＜＝０　なので、αとβは
　(1)α＜０、０＜＝β
　(2)α＝０、０＜β
のいずれかであり、いずれにせよ
｜α｜+β＝－α＋β
です。元の二次方程式の解は
（２ｕ±√（４ｕ＾２＋４ｖ＾２））／２＝ｕ±√（ｕ＾２＋ｖ＾２）
ですから、
－α＋β＝２√（ｕ＾２＋ｖ＾２）
であり、この値が４より小さくなります。

（３）
この方程式が４つの異なる解を持つためには
(1)ａとｂが異なる値であること
(2)二つの二次方程式　ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝０　およびｘ＾２＋ｂｘ＋ａ＝０がそれぞれ二つの異なる実数　解を持つこと
(3)(2)の二つの方程式が同時に成り立たないこと
が必要です。(3)については
ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝ｘ＾２＋ｂｘ＋ａ
とおいてｘ（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ　よりｘ＝１　となりますが、これを　ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ、あるいはｘ＾２＋ｂｘ＋ａに代入したときに式の値がゼロにならないことが必要です。