数学です◎

質問

わかりやすかった方には必ずお礼します！
解けません、お願いします。

xの4次方程式
x^4+ax^3-2x^2+bx+4=0(a,b:実数)
が1+iを解に持つ

(1)a,bの値を求めよ。
(2)残りの解をすべて求めよ。

回答No.3

NemurinekoNya · ベストアンサー

全部解かないと駄目？
解き方だけじゃ駄目？

面倒なので解き方だけを教えます。

(1) f(x) = x^4+ax^3-2x^2+bx+4(a,b:実数)
とする。x=1+iは解なので
f(1+i) = (1+i)^4+a(1+i)^3-2(1+i)^2+b(1+i)+4 = 0
あとは計算して、
f(1+i)= A + Bi = 0
の形に整理する。
A + Bi = 0 (A,Bは実数)
なのでA=0, B=0
するとa,bの連立方程式が出てくるので、それを解けばa,bが求まります。

(2)x=1+iが解なのでその共役複素数x=1-iも解になる
なので
f(x) = x^4+ax^3-2x^2+bx+4　　　　　　　　　　　　　　　　(求めたa,bの値を代入)
= g(x){x-(1+i)}{x-(1-i)}　　　　　　　　　　　　　　　　　　(g(x)は二次式）
にならなければならないのよ。
{x-(1+i)}{x-(1-i)} = x^2 -2x + 2
になるので、f(x)を実際にx^2 -2x + 2で割り算すればg(x)が求まる。
f(x)=g(x)(x^2 -2x + 2)=0
g(x)は二次式だから、二次方程式の解の公式を使えば求まるはずなのよね。実数解は。

回答No.2

noname#192379

解き方のヒントだけ。

（１）
方程式の係数が実数なので、1+i を解に持っているなら、その共役複素数 1-i も解でなければなりません。
このため、元の式は
(x + (1+i))(x - (1-i)) (x^2 + px + q) = 0 という形に因数分解できるはずです。カッコをはずしてまとめていくと、
(x + (1+i))(x - (1-i)) (x^2 + px + q)
=(x^2 + 1)(x^2 + px + q)
=(x^4 + px^3 + qx^2) + (x^2 + px + q)
=x^4 + px^3 + (p+q)x^2 + px +q

これが、x^4+ax^3-2x^2+bx+4 と一致しなければならないので、各項の係数比較して
p=a
p+q=2
p=b
q=4
となります。q=4を手始めとしてp, a, bが求まりますね。

（２）
すでに得られている p と q の値から、2次方程式
x^2 + px + q = 0 を解いて下さい。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

「解」とはどのような性質を持つのですか?