複素数と方程式

質問

複素数1＋iを解の一つとする実数係数の三次方程式ｘの三乗＋ａｘの二乗＋bｘ＋ｃ＝０(すいません。式をどの様に打てばよいのか分からず、大変見づらくなってしまいました。ａｘの二乗は、ｘだけが二乗されています)について、
①この方程式の実数解をａで表せ。
②この方程式と二次方程式ｘの二乗－bｘ＋３＝０がただ一つの解を共有するとき、定数ａ、b、ｃの値を求めよ。
という問題です。
①から解けません。ｘに1＋iと、共役な複素数1-iを代入したりしてみたのですが、解けません。

教えてください。

回答No.4

noname#108210 · ベストアンサー

実数解をαとすると
α+(1+i)+(1-i)=-a
α(1+i)+(1+i)(1-i)+α(1-i)=b
α(1+i)(1-i)=-c

整理すると
α+2=-a‥‥（１）
2α+2=b‥‥（２）
2α=-c‥‥（３）

(1)
（１）から求まる。

(2)
x^3+ax^2+bx+c=0‥‥（４）
x^2-bx+3=0‥‥（５）
（４）と（５）がただ１つの解を共有するのは，
（４）の実数解αだけ。
（１）（２）からb=2(α+1) だから，（５）は
x^2-2(α+1)x+3=0‥‥（６）
これが，αを解にもつから，
α^2-2(α+1)α+3=0
これを解いて
α=1,-3

α=1 のとき，
a=-3
b=4
c=-2

α=-3 のとき，
a=1
b=-4
c=6

お礼

分かりやすかったです。ありがとうございます。

回答No.5

again1212

１　この方程式の実数解をaで表せ。

（解答）1+iを解とするので1-iも解の一つである。
残りの求める実数解をαとする。
３次方程式の解と係数の関係から、
α+(1+i)+(1-i)=-a ∴α＝-a-2　

この問題では1+iという虚数解をもっているので、それと共役な複素数1-iもこの方程式の解になります。そこで今、解が1+i,1-iの２つ分かりました。３次方程式は３つ解を持つから、残り一つが求めたい実数解です。
ここで３次方程式の解と係数の関係
（３つの解の和）＝-x^2の係数/x^3の係数　を使います。

３次方程式の解と係数の関係に慣れていなかったら、これを機に練習しておくといいかもしれません。結構使うので。参考書等で確認しておけばＯＫでしょう。
ちなみに２乗は^2、３乗は^3というように書きます。

２．この方程式と二次方程式ｘの二乗－bｘ＋３＝０がただ一つの解を共有するとき、定数ａ、b、ｃの値を求めよ。

（解答）共有解はx=-a-2なので,この２次方程式に代入すると、
　　　(-a-2)^2-b(-a-2)+3=0
　　⇔(a+2)^2+b(a+2)+3=0
　⇔a^2+4a+7+b(a+2)=0 ・・・(1)

ここで、３次方程式の解と係数の関係より、
　　(1+i)(1-i)+(1-i)(-a-2)+(-a-2)(1+i)=b
∴b=-2a-2
これを(1)に代入して、　a^2+4a+7+(-2a-2)(a+2)=0
⇔ a^2+2a-3=0
　 ⇔ (a+3)(a-1)=0
∴a=1,-3
a=1のとき、b=-4　
また、３次方程式にa,bの値、解x=-a-2=-3を代入して、c=6
a=-3のとき、b=4 同様にしてc=-2

求めるa,b,cの値は、(a,b,c)=(1,-4,6),(-3,4,-2)

まず、共有な解は絶対1+iや1-iではありません。理由は、仮に1+iだった場合、その共役な1-iも解となってしまい、「ただ一つの解を共有する」ことにはならないからです。

また、ここでも解と係数の関係を使いますが今度は、
（他の解との積のそれぞれの和）＝xの係数/x^3の係数
を使います。
今度は-がつかないことに注意しましょう。
ちなみに、（他の解との積のそれぞれの和）とは、
3つの解をα、β、γとすると、　αβ+βγ+γα　のことを指します。

間違っていたらすいません。参考程度に。

お礼

丁寧にありがとうございます。

回答No.3

info22

>すいません。式をどの様に打てばよいのか分からず、大変見づらくなってしまいました。

そう、見る回答者のことを考えて、他の質問をみて書き方を覚えてください。このサイトを利用する上でのマナーです。

x^3 +ax^2 +bx+c=0…(◆)

(1) 実数係数のn次方程式の解は、実数解と共役複素解しかありません。
x=1+i が解なら x=1-i も解になります。
つまり、(◆)の左辺は (x-1-i)(x-1+i)=(x^2 -2x+2)という因数で因数分解できると言うことです。

x^3 +ax^2 +bx+c=(x^2-2x+2)(x+c/2)…(●)
右辺の括弧をばらして
x^3 +ax^2 +bx+c=x^3 +{(c/2)-2}x^2 +(2-c)x+c
これは恒等的に成り立つことから
xの同じ次数の係数を比較して
　a=(c/2)-2 , b=2-c　…(◎)
従って、(●）から実数解は x=c/2=a-2

(2)
2次方程式
x^2 -bx+3=0 …(▼)
と(◆)がただ1つの解を共有するということは、
もしその共有解がx=1+iとすれば、(▼)は実係数2次方程式なので
x=1-iも(▼)の解でなくてはならなくなる。x=1-iは(◆)の3次方程式の
解なので、共有解がただ1つということに反する。同様な理由でx=1-iもただ1つの共有解になりえない。
従って、共有解があるとすれば,(1)で求めた（◆)の実数解
x=a-2　がただ１つの共有解の候補となる。これが共有解なら(▼)を満たすので代入して
(a-2)^2 -b(a-2)+3=0　…(■)
(■)と(◎)を連立方程式として(a,b,c)を求めると
(a,b,c)=(1,-4,6)

これを(◆)と(▼)に代入して共有解は x=-1 のみと言うことを
確認して下さい。

お礼

詳しくありがとうございます。

回答No.2

bgm38489

一つの複素数解I1がわかれば、も一つI2は共役数ですね。も一つが実数解ｄだとすると…(x-I1)(x-I2)(x-d)=0!!

お礼

ありがとうございます！！

回答No.1

noname#250262

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack2/a/kisokaku024.htm
3次方程式の解と係数の関係より、(1)は自明となります。

(2)は、x^3 + ax^2 + bx + c = x^2 - bx + 3
この方程式の解がどうあればよいのかが問題の味噌です。

お礼

解と係数の関係とは・・・
思いつきませんでした。
ありがとうございました。