2次方程式

質問

2次方程式の解において、1つの解が複素数とわかっていてば、共役より　もう一方の解もわかるのは明らかなのですが。
例　1+ルート2iだとすぐに1-ルート2iとわかる。

次に　x^2+bx+c=0の1つの解が例えばα=-2+ルート3だと
判別式からB=-2-ルート3だとすぐに判断できるでしょうか？
もちろん、異なる2つの実数解で解に根号を含む場合を考えています。
教科書ではすぐに判断せずわざわざ計算しているので疑問に思いました。

回答No.2

arrysthmia

一般の代数方程式を扱うには、いろいろと準備が必要ですが、
二次方程式だけなら簡単です。学参等にも載ってるんじゃないかな。

x^2+bx+c=0 の１つの解が x=-2+√3 ならば、
解を方程式へ代入して (7-2b+c)+(-4+b)√3=0 が成り立ちます。
b, c が有理数の場合は、(7-2b+c), (-4+b) は有理数ですから、
√3 が無理数であることより、(7-2b+c)=(-4+b)=0。
従って、(7-2b+c)-(-4+b)√3=0 も成り立ちます。
x^2+bx+c=0 に x=-2-√3 を代入すると…

このやり方、実係数方程式の虚数解の場合と同じでしょう？

回答No.1

koko_u_

>1つの解が複素数とわかっていてば、共役より
>もう一方の解もわかるのは明らかなのですが。
係数が実数ならね。

>次に　x^2+bx+c=0の1つの解が例えばα=-2+ルート3だと
>判別式からB=-2-ルート3だとすぐに判断できるでしょうか？
この場合も、例えば係数が有理数なら、その「共役」が他方の解となります。

しかし、上記の論述を正当化するには、一般の体論のような道具立てを必要とするので、
高校ではやらないでしょう。せいぜい、解と係数の関係を使うのが関の山かと。

しかし、着眼は素晴しい。

お礼

返信ありがとうございます。
やはり大学数学の範囲なんですね。
代数学の基本的な教科書では扱っているでしょうか？
証明が気になるので・・・。