2次方程式の異符号の実数解

質問

xの2次方程式　ax^2+bx+c=0　で　ac<0のとき、異符号で2つの実数解をもつことを証明したいのですが・・・

実数解を2つ持つことについては、
ac<0　なので　4ac<0
よって判別式D＝b^2-4ac>0となるからと考えたのですが、
実数解が異符号になる理由がわかりません。

回答No.1

abyss-sym · ベストアンサー

解と係数の関係から考えるといいと思います。
ax^2+bx+c=0の解をα,βとするとc/a＝αβ＜０
解の積が負ということは、異符号の解をもつということですよね。

お礼

なるほど、どうもありがとうございました。

回答No.3

noname#47894

異符号の実数解を持つということは、
y＝ax^2+bx+c　とx軸との交点が2つあり、かつ、一つは正の部分、もう一つは負の部分で交わることを意味しています。

a>0、c<0のとき、グラフは下に凸型で、x=0のときy=c(<0)より、ｙ軸とは負の部分で交わります。このような条件を満たすグラフが、x軸と2点で交わるとき、必ず、一つは正、もう一つは負で交わることでしょう。

a<0のときも同様です。

もう一つの方法は、
(-b+√b^2-4ac)/2aと、(-b-√b^2-4ac)/2aをかけて、負になることを示すという方法があります。
二つの実数をかけて負になれば、二つの実数は異符号ですね？
この方法が、意外と簡単です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

Seravy

ac<0
ということは、
1. a<0 , c>0の場合
2. a>0 , c<0の場合
の二つに場合分けされますね。

ところで、与式に解の公式を使うと、
{-b+-√(b^2-4ac)}/2a
です。
それぞれの場合でaがどうなるか考えると・・。

お礼

どうもありがとうございました。