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方程式と実数解

a,bは実数とする。2次方程式(a+i)x^2+(b-3i)x+12-4i=0が異なる実数解をもつとする。このとき方程式の解とa,bの値を求めよ。 解の判別を使っても、虚部と実部に分けて考えても解けなかったのですが、解とa,bの値の両方を求める問題はどうやって解けばいいのでしょうか?

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回答No.2

2次方程式の係数が実数でないので、判別式は使えません。 方程式の実数解をtとおくと、  (a + i)t^2 + (b - 3i)t + 12 - 4i = 0 が成り立ちます。実部と虚部に分けると  (at^2 + bt + 12) + (t^2 - 3t - 4)i = 0 となりますので、  at^2 + bt + 12 = 0 ・・・(1)   かつ  t^2 - 3t - 4 = 0 ・・・(2) が実数tについて同時に成り立たなければなりません。 (2)より、t = 4,-1となり、これが方程式の解となるようにaとbを決める必要があります。 t = 4のとき、(1)は  16a + 4b + 12 = 0 ・・・(3) t = -1のとき、(1)は  a - b + 12 = 0  ・・・(4) (3)と(4)が同時に成り立たなければならず、a = -3,b = 9となります。

kurum
質問者

お礼

判別式が使えない理由がわかりました。 ありがとうございました!!

その他の回答 (1)

  • fukuda-h
  • ベストアンサー率47% (91/193)
回答No.1

まず、A+Bi=0ならばA=0かつB=0(A,Bは実数)を使って方程式を整理します。そうすれば解けます。 ax^2+bx+12+i(x^2-3x-4)=0 xは実数から ax^2+bx+12=0かつx^2-3x-4=0 x^2-3x-4=0から(x-4)(x+1)=0 x=-1,4これが実数解 ax^2+bx+12=0に代入して 16a+4b+12=0 a-b+12=0 からa=-3、b=9

kurum
質問者

お礼

わかりやすく教えていただき、ありがとうございます。 とても参考になりました!!

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