実数解

質問

ｘの方程式√(x-a)=xの実数解の求めかたが分かりません。
aは実数とする。

√(x-a)は正または0なのでx≧0
√(x-a)=xの両辺を2乗してx-a=x＾2
(x＾2)-x＋a=0
判別式で表すとD=1-4a

(i)
D<0のとき1-4a<0からa>1/4のとき実数解をもたない

(ii)
D=0のとき1-4a=0
a=1/4のときx=1/2で重解

(iii)
D>0のとき1-4a>0
a<1/4のとき
実数解はx=1±√(1-4a)/2
α={1-√(1-4a)/2},β={1＋√(1-4a)}/2とすると
(α＋β)/2=1/2>0

これからどのようにして範囲を求めればいいかわかりません。

回答No.2

mis_take

ANo.1 さんの，「これだけではダメですね」は間違いです。

√(x-a)=x ⇔ x-a≧0 かつ x-a=x^2
ではありません。
２乗してもよいのは，両辺が同符号の時です。
この問題の場合，左辺は正または０なので，右辺が負ではいけません。
したがって
√(x-a)=x ⇔ x-a≧0 かつ x≧0 かつ x-a=x^2
です。
しかし，x-a-x^2 から x-a≧0 が成り立つので
√(x-a)=x ⇔ x≧0 かつ x-a=x^2
だけでいいです。

その後，(i),(ii)もいいです。
(iii)は α≧0 になるかどうかでさらに場合分けします。
α≧0 ⇔ 1≧√(1-4a) ⇔ a≧0

最後にまとめて，次の４つの場合に分けて答を書きます。
a<0, 0≦a<1/4, a=1/4, 1/4<a

補足

< その後，(i),(ii)もいいです。
(iii)は α≧0 になるかどうかでさらに場合分けします。
α≧0 ⇔ 1≧√(1-4a) ⇔ a≧0

について教えてください。
a<1/4のとき、
実数解はx=1±√(1-4a)/2
α={1-√(1-4a)/2},β={1＋√(1-4a)}/2ですが
α≧0 ⇔ 1≧√(1-4a) ⇔ a≧0はどうやって現れたのですか？

a<0, 0≦a<1/4, a=1/4, 1/4<aの場合分けどのように現れたのですか？

回答No.1

velvet-rope

細かい計算はお任せします・・・

ここで求めなければならないのは、与方程式の実数解ですよね。
最後にある
> これからどのようにして範囲を求めればいいかわかりません。
って、何の範囲なんでしょう？

ひとまず、不足しているところを補うと、
> √(x-a)は正または0なのでx≧0
とありますが、これだけではダメですね。
x-a≧0とならないといけないので、xが満たすべき必要条件は
　x≧max(0,a)
となります。

(i)a＞1/4のとき実数解を持ちません。
(ii)a=1/4のときx=1/2となり、確かにx≧max(0,a)＝1/4を満たします。
ここまではいいですね。
では
(iii)a＜1/4のとき、
x＾2-x＋a=0を満たすxは
　{1-√(1-4a)}/2、{1＋√(1-4a)}/2
となりますが、x≧max(0,a)をみたすために、aの値に応じて場合分けが必要ですね。

後はご自身で解いてください。