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2次方程式が実数解を持つ範囲
こんばんは、宜しくお願いします。 2次方程式 x^2-(8-a)x+12-ab=0が定数aの値に関わらず実数解を持つときの定数bの範囲を求めよ。 まず、実数解とあるので重解でもよいから判別式D≧0ですよね。 それで、D=a^2+4(b-4)a+16ですね。 ここで、ここからの進め方が分らなかったので答えを見ると、 ”aの2次方程式=a^2+4(b-4)a+16の判別式を新たにDaとおくとD≧0となる条件はDa/4≦0でなければいけない。”とあるのですが、わからないです。 なぜDa/4≧0ではなくDa/4≦0なのでしょうか？ よろしくおねがいします。
- areru
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この判別式を２度使用する問題は混乱が起きるＣＡＳＥが多いようです。 理由としては、 最初の式 x^2-(8-a)x+12-ab=0 最初の判別式a^2+4(b-4)a+16≧0 二度目の判別式Da/4 が判然としなくなるためと思われます。 ーーー 最初の判別式a^2+4(b-4)a+16≧0 の段階で、最初の式は完全に頭から＜消し去って＞ a^2+4(b-4)a+16≧0 だけをみる。 ＞＞定数aの値に関わらず実数解を・・・ とありますので、 どのようなaに対しても、 a^2+4(b-4)a+16≧0が成立となります。 この後の考え方としては、３通り考えられますが、 ○グラフで考えると。 a^2+4(b-4)a+16をaの関数とみて、 F(a)=a^2+4(b-4)a+16と置くと 二次関数のグラフの頂点の（ｙ座標≧０） となります、 F(a)=a^2ー２(８－２ｂ)a+16 ＝【aー(８－２ｂ)】＾２－(８－２ｂ)＾２+16 すなわち、 －(８－２ｂ)＾２+16≧０ (８－２ｂ)＾２ー16≦０ となります。 ○同じグラフでも ＜グラフとｘ軸が２点で交わっててはダメ＞と考えるならば、 方程式 a^2ー２(８－２ｂ)a+16＝０ が、 ＜２実数解をもたない＞となり、 判別式 Da/4≦０、即ち (８－２ｂ)＾２ー16≦０ となります。 ○最後は多少判りにくいですが。 a^2+4(b-4)a+16≧0 を絶対不等式（常に成立する不等式） と見ると、 （Ａ－２）＾２≧0などの連想から 判別式Da/4≦０ (８－２ｂ)＾２ー16≦０ とはなりますが、これは流石に慣れないと無理のようです。 この考え方は、最初の見方と同形となります。 ーーー いずれも結果は同じで、 (８－２ｂ)＾２ー16≦０ （４－ｂ）＾２－４≦０ このあとの変形は＜好み＞があり、 ２≦ｂ≦６ のようです。
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- himajin100000
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aの値に関わらずD>=0ということは 横軸にa,縦軸にD=a^2+4(b-4)a+16を取ると， Dは横軸よりも下に行くことはない。 つまりa^2 + 4(b-4)a + 16 = 0が異なる二つの解を持たないということ。 よって【元の式の、ではなく，】 【a^2 + 4(b-4)a + 16 = 0の判別式】 Da = {4(b-4)}^2 - 4・1・16 <= 0 である
お礼
こんにちは、ご回答ありがとうございました。 遅くなって申し訳ありません。 答えまでたどり着けました。 ありがとうございます。
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お礼
こんにちは、ご回答ありがとうございました。 3パターンにもわたってご回答感謝致します。 よく分りました。 最後の絶対不等式は又勉強してみます。 本当にありがとうございました。 答えまでたどり着けました。