2次方程式が実数解を持つ範囲

質問

こんばんは、宜しくお願いします。

2次方程式　x^2-(8-a)x+12-ab=0が定数aの値に関わらず実数解を持つときの定数bの範囲を求めよ。

まず、実数解とあるので重解でもよいから判別式D≧0ですよね。

それで、D=a^2+4(b-4)a+16ですね。

ここで、ここからの進め方が分らなかったので答えを見ると、

”aの2次方程式=a^2+4(b-4)a+16の判別式を新たにDaとおくとD≧0となる条件はDa/4≦0でなければいけない。”とあるのですが、わからないです。

なぜDa/4≧0ではなくDa/4≦0なのでしょうか？

よろしくおねがいします。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

この判別式を２度使用する問題は混乱が起きるＣＡＳＥが多いようです。
理由としては、
最初の式　x^2-(8-a)x+12-ab=0
最初の判別式a^2+4(b-4)a+16≧0
二度目の判別式Da/4
が判然としなくなるためと思われます。
ーーー
最初の判別式a^2+4(b-4)a+16≧0
の段階で、最初の式は完全に頭から＜消し去って＞
a^2+4(b-4)a+16≧0　だけをみる。

＞＞定数aの値に関わらず実数解を・・・
とありますので、
どのようなaに対しても、
a^2+4(b-4)a+16≧0が成立となります。
この後の考え方としては、３通り考えられますが、

○グラフで考えると。
a^2+4(b-4)a+16をaの関数とみて、
F(a)=a^2+4(b-4)a+16と置くと
二次関数のグラフの頂点の（ｙ座標≧０）
となります、
F(a)=a^2ー２(８－２ｂ)a+16
＝【aー(８－２ｂ)】＾２－(８－２ｂ)＾２+16
すなわち、
－(８－２ｂ)＾２+16≧０
(８－２ｂ)＾２ー16≦０　となります。

○同じグラフでも
＜グラフとｘ軸が２点で交わっててはダメ＞と考えるならば、
方程式　a^2ー２(８－２ｂ)a+16＝０　が、
＜２実数解をもたない＞となり、
判別式　Da/4≦０、即ち
(８－２ｂ)＾２ー16≦０　となります。

○最後は多少判りにくいですが。
a^2+4(b-4)a+16≧0
を絶対不等式（常に成立する不等式）
と見ると、
（Ａ－２）＾２≧0などの連想から
判別式Da/4≦０
(８－２ｂ)＾２ー16≦０
とはなりますが、これは流石に慣れないと無理のようです。
この考え方は、最初の見方と同形となります。
ーーー
いずれも結果は同じで、
(８－２ｂ)＾２ー16≦０
（４－ｂ）＾２－４≦０
このあとの変形は＜好み＞があり、
２≦ｂ≦６　のようです。

お礼

こんにちは、ご回答ありがとうございました。

3パターンにもわたってご回答感謝致します。

よく分りました。　最後の絶対不等式は又勉強してみます。

本当にありがとうございました。

答えまでたどり着けました。

回答No.1

himajin100000

aの値に関わらずD>=0ということは
横軸にa,縦軸にD=a^2+4(b-4)a+16を取ると，
Dは横軸よりも下に行くことはない。

つまりa^2 + 4(b-4)a + 16 = 0が異なる二つの解を持たないということ。
よって【元の式の、ではなく，】
【a^2 + 4(b-4)a + 16 = 0の判別式】
Da = {4(b-4)}^2 - 4・1・16 <= 0
である

お礼

こんにちは、ご回答ありがとうございました。

遅くなって申し訳ありません。

答えまでたどり着けました。

ありがとうございます。