場合分けの考え方

質問

以前も質問したのですが、場合分けについてよく分からないので教えてください。(範囲の求めかた）
ｘの方程式√(x-a)=xの実数解の求めかたが分かりません。
aは実数とする。

√(x-a)は正または0なのでx≧0
√(x-a)=xの両辺を2乗してx-a=x＾2
(x＾2)-x＋a=0
判別式で表すとD=1-4a

(i)
D<0のとき1-4a<0からa>1/4のとき実数解をもたない

(ii)
D=0のとき1-4a=0
a=1/4のときx=1/2で重解

(iii)
D>0のとき1-4a>0
a<1/4のとき
実数解はx=1±√(1-4a)/2
α={1-√(1-4a)/2},β={1＋√(1-4a)}/2から、どのように場合分けをすればいいのか分かりません。

答えは
0≦a≦(1/4)のとき
x=(1±√(1-4a))/2

a<0んとき
x=(1-√(1-4a))/2

回答No.8

mirage70 · ベストアンサー

√(x-a)=xからx≧0なので1＋√(1-4a))/2と考えるのですか？
そうです

お礼

長い間ありがとうございました

回答No.7

mirage70

a<0のときルートの中がプラスになるんですよね？
これは、aに－を入れるとルートの中が＋

補足

何度もすいません。
何度もすいません。
a<0のときx=(1＋√(1-4a))/2>0がまだよく分かりません

これは
√(x-a)=x
からx≧0なので1＋√(1-4a))/2と考えるのですか？

回答No.6

mirage70

a<0と考えるとaは負だから
つい1－√(1-4a))/2と思ってしまうのですが。
1＜√(1-4a)です

補足

1＜√(1-4a)はa<0のとき
ルートの中がプラスになるんですよね？

回答No.5

mirage70

a=0とするとf(x)=(x＾2)-x=x(x-1),x=0,1
０≦a<(1/4)のときx=(1±√(1-4a))/2
これは、0<=α<β<=1此処は、第一象限で交叉)ですので、異なる解が２個

a=1のとき（解の公式より）
x=(１±√1-4)/2となり虚数になってしまいますのでf(0)=a≧0ならばｘ≧0と言えるのがよく分からなくなってしまいました。
(i)D<0のとき1-4a<0からa>1/4のとき実数解をもたない

a<0のときx=(1＋√(1-4a))/2>0です

補足

a<0のときx=(1＋√(1-4a))/2>0がまだよく分かりません

これは
√(x-a)=x
からx≧0なので1＋√(1-4a))/2と考えるのですか？

a<0と考えるとaは負だから
つい1－√(1-4a))/2と思ってしまうのですが。

回答No.4

mis_take

ｘの値は (1±√(1-4a))/2 と得られていますね。
このうち，ｘ≧０ を満たしているものが答えです。

ａ＞1/4 のとき（実数でないから）なし
ａ＝1/4 のとき（２つが一致して）ｘ＝1/2
０≦ａ＜1/4 のとき（２つともＯＫ）ｘ＝1±√(1-4a))/2
ａ＜０ のとき（１つは負でＮＧ）ｘ＝1＋√(1-4a))/2

補足

解説ありがとうございます。
こんな質問をしてすいません。
f(0)=a≧0ならばｘ≧0を満たすと考えますが
例えば
f(x)=(x＾2)-x＋aの
a=0とすると
f(x)=(x＾2)-x=x(x-1)
x=0,1

a=1のとき（解の公式より）
x=(１±√1-4)/2となり虚数になってしまいますのでf(0)=a≧0ならばｘ≧0と言えるのがよく分からなくなってしまいました。

それから、f(0)=a<0のとき
a<0のとき
x=(1＋√(1-4a))/2
となりますが、
これは、aに－を入れるとルートの中が＋、aに＋を入れるとルートの中が虚数になるので
a<0のとき
x=(1＋√(1-4a))/2
が言えると考えていいですか？

回答No.3

mirage70

y=xのグラフは、第一象限と原点,第三象限を通りますね。
この時、第三象限はy<0ですよね。
ですので、第一象限でy=√(x-a)のグラフとの交点を考えます。
D<0のとき1-4a<0からa>1/4のとき実数解をもたない
これは、y=xのグラフの第一象限では、右下にあり、重ならない。
D=0のとき1-4a=0、a=1/4のときx=1/2で重解
これは、y=xのグラフの第一象限でa=1/4のときx=1/2で接すると言うことです。
０≦a<(1/4)のときx=(1±√(1-4a))/2
これは、0<=α<β<=1此処は、第一象限で交叉)ですので、異なる解が２個
a<0は第三象限と第一象限で交叉すると言うことです。ですので解は１つ
第三象限は、x<0より反することになります。
f(0)=a<0のときのα<0<βのときのxの値はどのようにかんがえるのでしょうか？
上に書きましたが、αというのはxの１つの解でしょ。
すると、α>0でなければ、解にはなりません。即ち、第三象限での交点。

補足

こんな質問をしてすいません。
f(0)=a≧0ならばｘ≧0を満たすと考えますが
例えば
f(x)=(x＾2)-x＋aの
a=0とすると
f(x)=(x＾2)-x=x(x-1)
x=0,1

a=1のとき（解の公式より）
x=(１±√1-4)/2となり虚数になってしまいますのでf(0)=a≧0ならばｘ≧0と言えるのがよく分からなくなってしまいました。

それから、f(0)=a<0のとき
a<0のとき
x=(1＋√(1-4a))/2
となりますが、
これは、aに－を入れるとルートの中が＋、aに＋を入れるとルートの中が虚数になるので
a<0のとき
x=(1＋√(1-4a))/2
が言えると考えていいですか？

回答No.2

mirage70

60の手習いでアドバイスします
最後の、a<0のとき
x=(1-√(1-4a))/2は誤りです(1＜√(1-4a)です)
正しくは、x=(1+√(1-4a))/2です
y=xとy=√(x-a)のグラフとの交点です
y=√(x-a)のグラフは、第一象限と第二象限の放物線の上半分であることを、理解しておりますか（ｙ＞＝0より）

y=√(x)のグラフをx軸に沿って移動してください

補足

f(x)=(x＾2)-x＋aとおいたときの
f(0)=a≧0のときのxの値と
f(0)=a<0のときの
xの値を考えても求められますか？
こちらの解き方の方が解ける様な気がするので。

f(0)=a≧0のときのxの値はどのように考えるのでしょうか？
ｘ≧0という事しか分かりません。
a=1/4のときx=1/2
f(0)=a<0のときのα<0<βのときのxの値はどのようにかんがえるのでしょうか？
よく考えたのですが、考えるたびに混乱してしまって分かりません。

回答No.1

kakkysan

＞α={1-√(1-4a)/2},β={1＋√(1-4a)}/2から、どのように場合分けをすればいいのか分かりません。

x≧0ですから
α={1-√(1-4a)/2}≧0　とならなければなりません
これを満たすようなaの範囲を考えてください
（満たさない時の解はβだけになります）