三次方程式の解

質問

x^3－5x^2＋ax＋8＝0　の１つの解が他の一つの解の２倍のとき、実数aの値と３つの解を求める問題です。

αやβを使おうとしたのですが３次方程式なのでよくわかりません。分かる方は解説をお願いします。

回答No.4

info22

他の方が言われるように３根をα、2α、βとおけば
x^3－5x^2＋ax＋8=(x-α)(x-2α)(x-β)
=(x^3)-(3α+β)(x^2)+α(2α+3β)x-2βα^2
となります。

係数を比較して

3α+β=5…A
α(2α+3β)=a…B
2βα^2=-8…C
連立にしてα,βと実数aを求めれば良いです。

βα^2=-4…C'
Aからβ=5-3α…A'
C'に代入
(5-3α)α^2=-4
f(α)=3(α^3)-5(α^2)-4=0
f(2)=24-20-4=0
(α-2){3(α^2)+α+2}=0

α=2 , β=-1, a=2(4-3)=2
または
3(α^2)+α+2=0, D=1-24=-23<0
α=-(1/6)(1±i√23),β=(1/2)(11±i√23)
a=α(2α+3β)=-(1/36)(1±i√23){-2(1±i√23)+3(11±i√23)}
=-(1/36)(1±i√23)(31±i√23)　実数でないので不適

以上から答えの　aと3根(α,２α,β)は分かりますね。

回答No.3

Quattro99

2次方程式の時と同じですよ。各次数の係数がそれぞれ等しくなるってことです。
x^3-5x+ax+8=0の解がα、2α、βのときx^3-5x+ax+8をx、α、βで表すとどうなるかはわかりますよね？

あと、連立方程式を解くときに、αの解が一つの実数と二つの虚数になるとおもいますが、虚数解の時はaが虚数になってしまうことが示せるのでαは一つに決まるはずです。

回答No.2

yuu111

こんばんは

３次方程式の解と係数の関係は教科書に載ってますよ。
それと＃１の方のヒントで３つ式が立ちますよね？
あとはがんばって解いてください＾＾；

補足

２次方程式の解と係数の関係しか載ってないので聞いたのですが…。
どの教科書かわかりますか？

回答No.1

Quattro99

計算してないんで本当に出来るかどうかわかりませんが、解をα、2α、βとおいて解と係数の関係を使うと、等式が3つで文字が3つになるので解けるのでは？

補足

α,2α,βにするとできそうな感じはしたのですが、３次方程式の場合の解と係数の関係はどのように使えばいいですか？？
文字が３つになるので解き方を教えてもらえますか？