4次方程式の虚数解αが(α+1/α)^16＞0

質問

4次方程式
x^4-x^3+ax^2+x+1=0
は虚数解αをもち，
(α + 1/α)^16＞0 のとき，実数ａの値を求めよ．

(答)a=5/2 , (6±3√2)/2

いったいどのようにしてaを求めるのでしょうか?

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

筋書きだけでも。

　x^4-x^3+ax^2+x+1 = x^2(x^2 - x + a + 1/x + 1/x^2)
　にて、u = (x - 1/x) とすれば、
　x^2 - x + a + 1/x + 1/x^2 = u^2 - u + (a+2) = P(u)

P(u) の零点 uo は、
　uo = {1±i*SQRT(7+4a)}/2　　　…(1)
x は、
　xo = {uo±SQRT(uo^2 + 4)}/2
これに対応して、
　xo + 1/xo = (uo^2 + 4)^(1/2)
つまり、
　(xo + 1/xo)^16 = (uo^2 + 4)^8　　　…(2)

(1), (2) から、
　arg(uo^2 + 4) = atan[2SQRT(7+4a)/(5-2a)]　　　…(3)

(3) が (π/8) の整数倍になる a を調べる…みたいな手？

たとえば、a = 5/2 なら(π/8) の 4 倍。

お礼

ありがとうございます。

　uo = {1±i*SQRT(7+4a)}/2　
なので、
uo^2 + 4 = (5-2a)/2 + (i/2)SQRT(7+4a)

(xo + 1/xo)^16 = (uo^2 + 4)^8　> 0　
なので、

arg(uo^2 + 4) = (π/4) の整数倍

(5-2a)/2 + (i/2)SQRT(7+4a) の実部と虚部のどちらかが0、もしくは、
実部と虚部の比が1：±1

それからaを求める。
(5-2a)/2 = 0　のとき、a=5/2
SQRT(7+4a) = 0 のとき、uo は虚数でなくなり、題意から不適。
(5-2a)^2 = {SQRT(7+4a)}^2　 のとき、a= (6±3√2)/2

なんとか解けました。ありがとうございました。

回答No.13

178-tall

我ながら嫌になりますけど、また訂正。

(α+ 1/α) = d(1 + i) と置けるから、
　α= {d(1 + i) ±sqrt(id^2 - 4)}/2
…
…

お礼

ありがとうございました。

回答No.12

178-tall

恒例の訂正。

(α+ 1/α) = d(1 + i) と置けるから、
　α= {id ±sqrt(id^2 - 4)}/2
u = (x - 1/x) とおき、x へαを代入して、
　u = (α - 1/α)
　= sqrt[{-4 + sqrt(16 + d^4)}/2] + i*sqrt[{4 + sqrt(16 + d^4)}/2]
これを方程式
　u^2 - u + (2+a) = 0
へ代入し、まず虚部をゼロに等置すれば、
　d^2 = sqrt[{4 + sqrt(16 + d^4)}/2]
となり、
　d^4 = 17/4
を得る。
実部へこれを代入し、ゼロに等置すれば、
　-4 - sqrt[{-4 + sqrt(16 + d^4)}/2] + 2 + a = 0
となり、
　a = 5/2
を得る。

お礼

ありがとうございました。

回答No.11

178-tall

「筋書き」からわかるように、
　x^4 - x^3 + ax^2 + x + 1 = 0
なる 4 次方程式は、「2 次方程式解法」を 2 回適用すれば解けます。
同様にして、4 次方程式の解 α について、
　arg(α+ 1/α) = π/4
が成立する場合の a を勘定する「筋書き」を…。

arg(α+ 1/α) = d(1 + i) と置けるから、
　α= {id ±sqrt(id^2 - 4)}/2
u = (x - 1/x) とおくと、x へαを代入して、
　u = (α - 1/α)
　= sqrt[{-4 + sqrt(16 + d^4)}/2] + i*sqrt[{4 + sqrt(16 + d^4)}/2]
これを方程式
　u^2 - u + (2+a) = 0
へ代入し、まず虚部をゼロに等置すれば、
　d^2 = sqrt[{4 + sqrt(16 + d^4)}/2]
となり、
　d^4 = 17/4
を得る。
実部へこれを代入し、ゼロに等置すれば、
　-4 - sqrt[{-4 + sqrt(16 + d^4)}/2] + 2 + a = 0
となり、
　a = 5/2
を得る。

お礼

ありがとうございました。

回答No.10

178-tall

筋書きだけで止めるべきでしたね。

>arg = (π/4) なら、SQRT(7+4a)/(5-2a) = 1

tan 値で錯乱してます。
お騒がせでした。

お礼

ありがとうございました。

回答No.9

178-tall

またまた、誤記訂正。

　arg(xo + 1/xo)^2 = arg(uo^2 + 4) = atan[SQRT(7+4a)/(5-2a)]　　　…(3) ＊＊

お礼

ありがとうございます。

回答No.8

178-tall

uo = {1±i*SQRT(7+4a)}/2　　　…(1)
　(xo + 1/xo)^16 = (uo^2 + 4)^8　　　…(2)
　(xo + 1/xo)^2 = arg(uo^2 + 4) = atan[SQRT(7+4a)/(5-2a)]　　　…(3) ＊
(3) ＊の arg が (π/8) の整数倍になる a を調べる…

たとえば、a = 5/2 なら (3) ＊にて arg = (π/2) 、つまり (π/8) の 4 倍。

また、(3) ＊にて arg = (π/4) なら、
　SQRT(7+4a)/(5-2a) = 1/SQRT(2)
　a = {7 + SQRT(38)}/2

…この勘定、あってますか？

お礼

ありがとうございます。

(π/8) の整数倍
ではなく、
(π/4) の整数倍
と思います。

arg = (π/4) なら、SQRT(7+4a)/(5-2a) = 1/SQRT(2)
ではなく、
arg = (π/4) なら、SQRT(7+4a)/(5-2a) = 1
と思います。

回答No.7

178-tall

筋書きはそのまま、誤記だけ訂正。

　arg(uo^2 + 4) = atan[SQRT(7+4a)/(5-2a)]　　　…(3) ＊

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

noname#151558

基本はある複素数を極形式に直すことがポイント。
まずx=0ならば元の4次方程式はaがどんな実数値でも満たさないので
x≠0とできて
x^4-x^3+ax^2+x+1=0　⇔ a=-(x^2＋1/x^2)＋(x-1/x)=-(x＋1/x)^2-(x＋1/x)＋2(1＋x)

で虚数解αが
(α + 1/α)^16＞0 となるような実数値aを定める。
そのためには
A={α|(α + 1/α)^16＞0、αは実数でない複素数}、f(x)=-(x＋1/x)^2-(x＋1/x)＋2(1＋x)
とおいて
f(α)が実数値をとるようなα∈Aはなんなのか。

(α + 1/α)=r(cosΘ＋isinΘ)とおくと　(r∈R\{0}、0≦Θ≦2π)
(α + 1/α)^16＞0から(α + 1/α)^16は正の実数値をとるので
(α + 1/α)^16＝r^16(cos16Θ＋isin16Θ)より
16Θ=0,2π,4π,・・・・・,32π　でなければならない。
すなわち
Θ∈B={0,π/8,2π/8,3π/8,・・・・,16π/8}ならば(α + 1/α)^16＞0であるから
f(α)が実数値をとるようなΘ∈Bを定めればよい。
そして
Im(f(α))=-r^2sin2Θ-rsinΘ＋2Im(α)が0となるようなΘ∈Bを
さらに制限して求めればできる。

例えばΘ=0のとき
α＋1/α=rとなるαを解いて
Im(f(α))=-r^2sin2Θ-rsinΘ＋2Im(α)=2Im(α)=0 となるrを求めてみれば
f(α)＝-r^2cos2Θ-rcosΘ＋2Re(α)＋2
がaの値。
これをそれぞれΘ∈Bについて存在しないことも吟味して今のようにΘとrとの存在性を決定して求めた値が最終的な答え。

お礼

ありがとうございます。

とてもすばらしい考えだと思うのですが、
Θ∈B={0,π/8,2π/8,3π/8,・・・・,16π/8}において、

α＋1/α=r
Im(f(α))=-r^2sin2Θ-rsinΘ＋2Im(α)=0
という連立方程式を解くことが困難に思うのです。

ところで、
x^4-x^3+ax^2+x+1=0
は虚数解αをつから、α^4-α^3+aα^2+α+1=0
(α + 1/α)^16
を有理化する(この展開はしんどすぎて躊躇してしまう)と、αの3次式になるので、その3次の係数と2次の係数と1次の係数がすべて0という方針で解けないものでしょうか?

回答No.4

178-tall

>虚数とは、複素数から実数を除いたものです。u+iv(v≠0)のことです。
>iv(v≠0)というのは純虚数のことで、それではありません。

…虚数 = 純虚数、だと思いました。
失礼。

α + (1/α) の 16 乗が実数になるような複素数 (虚部非零) ということですね。
出直します。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

mister_moonlight

＞α= iu (u は実数) とおいて左辺へ代入、

何で、はじめから“純虚数”なんだろう？　理解できない。

お礼

ありがとうございました。