3次と２次の方程式の共通解

質問

x^3+2ax^2+(1-a)x+a(a^2-a-1)=0とx^2+ax-a=0とが共通な解をもつような実数aをすべて求めよ。更にこのとき、それぞれのaの値における3次方程式の解をすべて求めよ。

共通解の問題で2式の差を取っても、３次の項が消えないため、どう解けばいいのかわからなくて困っております。どうかどなたか、教えてください。

回答No.1

freedom560 · ベストアンサー

x^3+2ax^2+(1-a)x+a(a^2-a-1)=0・・(1)
x^2+ax-a=0・・(2)

(1)と(2)の共通解をαとおきます。
このとき、
α^3+2aα^2+(1-a)α+a(a^2-a-1)=0・・(3)
α^2+aα-a=0・・(4)
が成り立ちます。

(4)を変形すると
α^2=-aα+a・・(5)です。

つまり、
α^3+2aα^2+(1-a)α+a(a^2-a-1)
=α×(-aα+a)+2aα^2+(1-a)α+a(a^2-a-1)
・・
=○α＋△

と計算してまずはαを３次から１次にしましょう。

とすると、(3)より
○α＋△＝０　です。

お礼

freedom５６０さん
アドバイスありがとうございました。
次数下げを目標にやっていけば良い
ということですね！
すんなり解くことができました。
どうもありがとうございました。