２次方程式の共通の整数解

質問

ｘの２次方程式ｘ＾２+３ax+a-５=０とｘ＾２+６ｘ+３a＾２－２０a+２５=０が共通の整数解をもつ。
定数aを求め、共通の整数解を求めよ。
答え　a=5のときｘ=0
a=１のときｘ=－４
解き方を教えてください。
解説が詳しいとありがたいです。

回答No.1

kaztel-D4C · ベストアンサー

共通の整数解を持つので、その整数解の値をtとおきます。
すると第一式はt^2+3at+a-5=0、第二式はt^2+6t+3a^2-20a+25=0となります。
共通の解なので、第一式、第二式それぞれの左辺を二次関数と考えると、それらの交点がまさに共通の整数解ですから、第一式、第二式それぞれの左辺を等号で結ぶことが出来ます。
すると
t^2+3at+a-5＝t^2+6t+3a^2-20a+25
これをtについて解くと
（中略）at-2t=a^2-7a+10
(a-2)t=(a-2)(a-5)
t=a-5
つまり、共通の解はaを用いて表せることがわかりました。
この答えを第一式、もしくは第二式に代入します。
第一式に代入すると
(a-5)^2+3a(a-5)+a-5=0
(a-5)(a-5+3a+1)=0
(a-5)(4a-4)=0
よって、a=1,5

すなわち、a=1のとき、t=1-5=-4
a=5のとき、t=5-5=0
で、答えを得ます。

以上で説明とさせていただきます。

回答No.6

kaztel-D4C

#2～5の方へ
#1の回答を書いた者です。ご指摘ありがとうございます。
たしかに(a-2)t=(a-2)(a-5)からt=a-5とすると、
a≠2が前提に来てしまいますね。完全に見落としていました;;

回答No.5

mister_moonlight

＞a=2 のときは 2つの方程式が同じになるはず.

ごめん、計算ミス。
共に　ｘ＾2+6x-3=0　になるが　解は整数でないから不適。

回答No.4

Tacosan

それもおしい＞#3.

a=2 のときは 2つの方程式が同じになるはず.

回答No.3

mister_moonlight

＃2の指摘の通りに、＃1は不完全解。

＞(a-2)t=(a-2)(a-5)　t=a-5

ここが致命的ミス。方程式の基本なんだけどね。
(a-2)*{x-(a-5)}＝0から　a-2＝0の時も考える必要がある。
a-2＝0の時は、ｘ＾2+6x-3=0　と　ｘ＾2+6ｘ+7=0　となるから不適。
よつて、x-(a-5)＝0の時は‥‥‥と続いて行く。

回答No.2

Tacosan

おしいなぁ＞#1.

もうちょっとだけケアしてあげないと....