２次・３次方程式の共通解に関する難問

質問

こんばんは。よろしくお願いします。

　ax^2 + (a^2+4)x + 4a = 0
　x^3 + ax^2 - ax - 4=0

が少なくとも１つの共通解を持つような定数aを定めよ

という問題で悩んでいます。
解と係数の関係は２次，３次ともに公式くらいは分かるのですが，
なかなか解答には手が届きません。

計算が煩雑になってしまう場合には，方針だけでも教えて頂けると助かります。
もし分かる方がおりましたら，もし早めに回答してもらえると非常に助かります；
よろしくお願いします。

回答No.5

take_5

もし、計算に自信があるなら、aを消してやろう。

aα^2 + (a^2+4)α + 4a ＝ 0　‥‥(1)、　α^3 + aα^2 - aα - 4＝0　‥‥(2).
(2)より、a（α＾2－α）＝4－α＾3　‥‥(3)
α＾2－α≠0は直ぐ分るだろうから、a＝（4－α＾3）/（α＾2－α）より、これを(1)に代入して計算してやると、かなり計算が面倒だが、α（α＾2-4）＾2＝0より、α≠0からα＝±2.
このとき、（a、α）＝（2、-2）、（-2、2）。

回答No.4

take_5

別に難問でもなんでもない。
共通解αを先に求めるか、定数のaを先に求めるかの違いで方法は大別されるし、しかも、この問題は片方が因数分解できてしまうという大味な問題。
(1)でaの次数が異なるから、aを先に消してαを求めようとすると、計算が五月蝿そうなので、αを先に求めよう。
それは同時に、因数分解に気が付かない場合の回答。

共通解をαとすると、aα^2 + (a^2+4)α + 4a ＝ 0　‥‥(1)、　α^3 + aα^2 - aα - 4＝0　‥‥(2).
(1)において、a＝0とすると、α＝0となるが(2)を満たさないから不適。
(1)*a＋(2)を作ると、α｛aα^2 + (a^2+a)α + 4 ｝＝0となるが、α≠0より、aα^2 + (a^2+a)α + 4＝0‥‥(5)
(1)＋(5)より、α（α＋a）＾2＝0となるが、α≠0よりα＋a＝0.
これを(2)に代入すると、a＝±2.　　以下省略。

回答No.3

yhposolihp

ax^2+(a^2+4)x+4a=0
(ax+4)(x+a)=0
x^3+ax^2-ax-4=0
------
　x=-a
　-a^3+a^3+a^2-4=0
　a=2,-2
a=2
　(2x+4)(x+2)=0------> x=-2(ok)
a=-2
　(-2x+4)(x-2)------> x=2(ok)
------
　ax=-4
　x^3+ax^2=0
　(x^2)(x+a)=0
　x≠0,x=-a（既出）
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回答No.2

noname#75273

初めて見る問題です。；；
経験浅いなりに考えると、・・・
3次方程式の解を α , β , γ とおく、
2 次方程式の解は、(x + a) (ax + 4) = 0 とできるので、
x = -a , - 4 / a となる。（A = -a , B = - 4 / a とおく、）

ここで、少なくとも１つの共通解を持つ
　⇒　( A - α ) ( A - β ) ( A - γ ) = 0　が成り立つ
　または、( B - α ) ( B - β ) ( B - γ ) = 0　が成り立つ
　後は、解と係数の関係により、α , β , γ をつぶしていけば a が求まるのでは？

回答No.1

rock-e

うーん、自信はありませんが、

「共通解が少なくとも1つ」ということから、x = Aなどと置いて共通解を1つ置き、これを代入すると両方の方程式の解なので、（方程式）＝０から、aについて整理して、aについて解をだせばよい。

と思ったのですが、共通解が残ってしまうので、違うかもしれません。

今まで試した方法を教えてくれると、他の方法を探せますが・・・