３次方程式の整数解について

質問

f(x)＝x^3-3ax^2+bx-aとする。
f(x)=0がただ一つの整数解をもつとき、a,bの条件を求めよ。
ただし,a,bは実数とする。

a=1,b=3のとき、整数解x=1をもつことがわかりますが、
ほかにも整数解を取りうるのかどうかがわかりません。

（自分で考えた問題なので、正解はわかりません。）
よろしくおねがいします。

回答No.4

Tacosan

「どうなるでしょうか」て....
自分で考えようという気持ちはないんですか?

お礼

質問の意図を詳しく説明したつもりでしたが、お礼の表現がお気に触ったのでしたら、すみません。
ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

や, 実際には「ただ一つの整数解をもつ」という条件が非常にいやらしいんですよ＞#2.
今の場合解と係数の関係から 3つの解のうち 2つを決めると残り 1つが自動的に決まります. そこで, 元の問題においては「1つの整数解と 1つの整数でない解」を与えたときに 3つ目の解を求め, これが整数にならなければすべて OK となります.
で例えば 3 と 2/5 からは最後の解が 17/13 となり, これは整数でないのでこれらを解に持つ 3次方程式はこの f(x) の形で書けます (展開すればわかるが a = 102/65, b = 367/65).
「ただ 1つの有理数解」としても状況は同じで, 「1つの有理数解と 1つの有理数でない解」を与えたときに 3つ目が有理数でなければ OK. たとえば
x = 1/2, (1+√3)/4, 24+14√3
を解とする 3次方程式は
x^3 - [(57√3+99)/4]x^2 + [(133√3+229)/8]x - (19√3+33)/4 = 0
なので条件を満たしてしまいます!

お礼

ありがとうございました。

解の条件として、
「ただ一つの実数解と二つの虚数解をもつ。
ただし、その実数解は有理数とする。」
を付け加えるとどうなるでしょうか。

もうひとつの条件、
「a,bは有理数とする。」
とどうなりますか？

回答No.2

info22_

重解は１つと数えるのか、２つ、３つと数えるのか、どちらですか？

重解は１つと数えると
>a=1,b=3のとき、整数解x=1をもつことがわかりますが、
3重解（x=1が3重解）なので条件を満たしますが、
3個の数えるなら条件を満たしません。

x=0がただ1つの整数解のとき
　a=0,b>0で任意でただ1つの解、a=b=0で3重解

x=1がただ1つの整数解のとき
　　b=4a-1(0<a≦1)
　　　a=1,b=3でx=1が3重解、
(a,b)=(1/2,1),(1/4,0)でただ1つの解

x=2がただ1つの整数解のとき
　　2b=13a-8
　(a,b)=(1,5/2),(8/13,0),(9/13,1/2)でただ1つの解

x=-1がただ1つの整数解のとき
b=-4a-1(-1≦a<0)
　　　a=-1,b=3で3重解
　　　(a,b)=(-1/4,0),(-3/10,1/5),(-1/3,1/3),(-1/2,1),(-3/4,2)でただ1つの解

など、(a,b)の組合せが多数します。

#1さんの回答の範囲外にも条件を満たす(a,b)が存在することを示しましたが、#1さんも言われているように(a,b)には制約は存在します。
しかし条件式を求めることは難しいですね。

(1)極大・極小を持つが極小値＞0の場合と極大値＜0の場合でただ１つの整数解を持つ場合
(2)極値を持たないでただ1つの解をもつ場合
に分けて、
条件を満たす(a,b)の存在領域をプロットしてみると条件が見えてくる可能性がありますね。

お礼

ありがとうございました。
解の数え方について補足です。

「ただ一つの実数解と二つの虚数解をもつ。
ただし、その実数解は有理数とする。」

このような条件の場合はどうなるでしょうか。

補足

「重解は一つと数える」と思って質問を投稿しましたが、あいまいな表現でした。
すみません。

「一つの有理数の解と二つの虚数解」だとどうなるでしょうか。
よろしければ、こちらもお願いします。

回答No.1

Tacosan

a=0 かつ b>0 なら整数解は 1つだけ.
たぶん, 「条件」は求まらないんじゃないかなぁ. おそらく, ほとんどの a に対して適当に b を定めれば「ただ 1つの整数解をもつ」ことになると思う.

お礼

ありがとうございました。
よろしければ、上の条件でもおねがいします。

補足

すみません。条件を一つ書き落としてました。

b>0とする。

それから整数解ではなく、有理数の解ならOKとします。