2次方程式

質問

2次方程式(x＾2)+bx+c＝０が１より大きい2つの異なる実数解をもつ条件求める問題。b,cは実数とする問題

２解をα、βとするとき
(α-1)+（β-1)>0
と(α-1)(β-1)>0はどこからどうやって現れたのでしょうか？

同様に
(b＾2)-4c>0
b+2<0
c+b+1>0もどこからどうやって現れたのでしょうか？

異なる実数解だからD>0
f(α)≧0
f(β)≧」0
α≦軸≦β
と考えたのですがよく分かりません

回答No.7

springside · ベストアンサー

まず、頭を整理しましょう。
このような「２次方程式の解の配置の問題」には、２通りの解き方があります。それは、
　(1)グラフを使う解き方
　(2)解と係数の関係を使う解き方
です。

(1)グラフを使う解き方について
グラフが題意を満たすように、以下の３つの式を立てます。
(i)判別式に関する式（普通は、Ｄ≧０かＤ＞０）
(ii)放物線の軸に関する式（例：軸＞１など）
(iii)端点に関する式（例：f(1)＞０など）

この問題の場合は、
(i)Ｄ＞０
(ii)軸＞１
(iii)f(1)＞０
の３つになります。

(2)解と係数の関係を使う解き方について
まずは、実数解を持たなければならないので、
(i)Ｄ≧０かＤ＞０
という式が立ちます。（この問題の例で言えば、Ｄ＞０です）

次に、解をα、βとしたときに、この問題の例で言えば、
α＞１、β＞１
となりますが、これは、
αー１＞０、βー１＞０・・・※１
と言うことなので、※１と全く同等の意味を表す式として、
（αー１）＋（βー１）＞０
（αー１）（βー１）＞０
という２つの式が立ちます。（※２）
解と係数の関係によって、上式のα、βを２次方程式の係数で表してやればよいです。
これで、合計３つの式が立ちましたので、これらを解けばいいです。

注：※１、※２のところで、
　α＞１、β＞１だからα＋β＞２、αβ＞１
とやってはいけません（同等の意味ではなくなってしまう）。
あくまでも、「０との比較」でなければダメです。

お礼

みなさんいろいろな解説どうもありがとうございました。
どれも参考になりました。
ありがとうございます

回答No.6

lick6

解と係数の関係はご存知でしょうか？
ax^2 + bx + c = 0 の2解を α, β とするとき
　α + β = -b/a, αβ = c/a
という公式です。
これは解の公式からまとめることでえられますし、あるいは
ax^2 + bx + c = a(x - α)(x - β)
　　　　　　　　 = ax^2 - a(α + β) + a * αβ
をxの恒等式とみても導け出せます。
また判別式というのも重要な公式です。
解の公式から
x = {-b ± √(b^2 - 4ac)} / 2
ですが、ルートの中身は正でなければなりません。つまり
b^2 - 4ac > 0 のとき 異なる二つの実数解を持つ(異なる二点で交わる)
b^2 - 4ac = 0 のとき 実数の重解を持つ(この点で接している)
(イメージとして、二点α,βで交わるグラフが上下に移動して α = β となた瞬間は接してますよね)
b^2 - 4ac < 0 のとき 異なる二つの虚数解を持つ(グラフは交わらない)
虚数というのはルートの中身が負である数字のことで、複素数という範囲ででてきたと思います。
虚数は実数の範囲に含まれないので要するに解が無いということです。
こういったグラフは平方完成すると (x + 1)^2 + 1 = 0 等となるので解が無いというのは理解できると思います。

前置きが長くなりました。
(α - 1) +（β - 1) > 0　は α > 1, β > 1　から導くことができます。
また、例えば pq > 0 としたとき p と q は同符号だ、とできます。
逆に pq < 0 としたとき p と q は異符号です。
これを使うために α > 1 を (α - 1) > 0 のようにして
(α - 1)(β - 1) > 0 としたのでしょう。

ちなみに
(α - 1) +（β - 1) > 0, (α - 1)(β - 1) > 0
⇔ α - 1 > 0, β - 1 > 0　です

解と係数の関係から　α + β = -b, αβ = c を代入して
-b - 2 > 0
c - (-b) + 1 > 0
そしてαβが存在するために判別式 D > 0
解答はこれを解いているのでしょう。

他の考え方として
D > 0
f(1) > 0
軸 x = -b/2 > 1 ででると思います。

回答No.5

ttttaaanni

#4ですが、誤字が多くてすいません。直しておきます。

解き方に好みもあるでしょうが、この問題はグラフを頭に入れて考えます。つまり
2次方程式(x＾2)+bx+c＝０が１より大きい2つの異なる実数解をもつ
を
ｙ＝(x＾2)+bx+c　のグラフがｘ軸と2箇所で交わり、交わったところが
1より大きい
という風に置き換えて　考えていきます。

このグラフは、上に凸か下に凸か？
軸はどこにないといけないか？
ｘ＝1のときのyの値がどうでないといけないのか？

とにかく、グラフの形をイメージしていきます。
チャート式とかの参考書があれば、この辺詳しく載っていると思います。
この内容がわからなくて、数学がいやになる人が多いようですが、
よく考えるとそんなに難しくないと思います。

回答No.4

ttttaaanni

>異なる実数解だからD>0
>f(α)≧0
>f(β)≧」0
>α≦軸≦β
>と考えたのですがよく分かりません
これでは、　1より大きい解　という条件が満たせていません。

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解き方に好みもあるでしょうが、この問題はグラフを頭に入れて考えます。つまり
2次方程式(x＾2)+bx+c＝０が１より大きい2つの異なる実数解をもつ
と
ｙ＝(x＾2)+bx+c　のグラフがｘ軸と2箇所で交わり、交わったところが
1より大きい
という風に考えていきます。
チャート式とかの参考書があれば、この辺詳しく載っていると思います。
この内容がわからなくて、数学がいやになる人が多いようですが、
よく考えるとそんなに難しくと思います。

回答No.3

postro

異なる実数解だからD>0
f(α)＞0
f(β)＞0
α＜軸＜β
の方針で基本的にはいいと思います。（イコールなしの不等号）
D＞0 より
(b＾2)-4c>0
f(1)＞0 より
c+b+1>0
１＜軸　　より
1＜-b/2 すなわち
b+2<0
それから、
p,qが共に正⇔0<pq かつ　0<p+q
が成り立つことから
(α-1)+（β-1)>0　かつ　(α-1)(β-1)>0

回答No.2

Ce_faci

>(α-1)+（β-1)>0と(α-1)(β-1)>0はどこからどうやって

正の数と正の数を足してみた、かけてみたでいいのでは。

>(b＾2)-4c>0
b+2<0
c+b+1>0もどこからどうやって

(b＾2)-4c　は判別式でしょう。

x＾2+bx+c＝０
と
x＾2+（－α－β）x+αβ＝０
は同じですね。

b=－α－β
c=αβ
を使って
(α-1)+（β-1)>0と(α-1)(β-1)>0へ置き換えてみましょう。

回答No.1

tatsumi01

> ２解をα、βとするとき
> (α-1)+（β-1)>0
> と(α-1)(β-1)>0はどこからどうやって現れたのでしょうか？
α、βは実数で１より大きいから、(α-1)と(β-1)も実数で０より大。