高次方程式 解答お願いします！

質問

3次方程式 f(x)=x^3+ax^2+bx+c=0 の3つの解をα, β, γとする。

(1) α+β+γ, βγ+γα+αβ, αβγ の値をa, b, cで表しなさい。ただし、「F(x)=0の解がAである ⇔ F(x)=(x-A)(・・・)」を利用して答えを導き出しなさい。

(2) tについての次の式を簡単にしなさい。
f(α+t)+f(α-t)+f(β+t)+f(β-t)+f(γ+t)+f(γ-t)

(3) yについての方程式 f(α+y)+f(β+y)+f(γ+y)=f(α-y)+f(β-y)+f(γ-y) が0以外の実数解をもつための条件を求めなさい。ただしa, b, cは実数とする。

回答No.2

departure1989 · ベストアンサー

(1)に関しては、問題通りに回答すればよいので省略します。

(2)は、素直に計算すればよいです。
f(α)=f(β)=f(γ)=0であることを使って、

f(α+t)+f(α-t)=6αt^2+2at^2
f(β+t)+f(β-t)=6βt^2+2at^2
f(γ+t)+f(γ-t)=6γt^2+2at^2

よって(与式)＝6(α+β+γ)t^2+6at^2
(1)の結果より、α+β+γ=-aなので、(与式)=0

(3)は(1),(2)の結果を用いて計算していけばよいです。
(2)の結果を用いて、与式を変形して、

f(α+y)+f(β+y)+f(γ+y)=0
式を展開してまとめると、

3y^3+(a^2-3b)y=0

あとは、この式から条件を求めると、

3b-a^2>0

お礼

丁寧な回答本当にありがとうございます。
非常に助かりました。
次回もご縁がありましたら是非よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

(1) f(x) を因数分解してから展開し直す.
(2) 計算する.
(3) 因数分解する.

お礼

回答有難うございます。もう一人の方の回答を参考する前にまずこちらで挑戦してみました。
(2)の途中で行き詰ってしまいましたが…。
とにかく、非常に助かりました。