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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:xについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,)

三つの実数解を持つ方程式の定数と解を求める方法

このQ&Aのポイント
  • xについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,γ(α<β<γ)を持ち、それらがある順序で等比数列をなし、また、ある順序で等差数列をなす。
  • 解答には、α<β<γよりα,β,γの順に並んでいる。
  • 等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

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回答No.2

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。 そんな事はない。 条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。 従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。 αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。 (α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(α+2)*(β+2)*(γ+2)=0 つまり 少なくても1つの解は -2であるから原式に代入すると、b=2a ‥‥(2) 同様にして、等差数列の場合も 2γ=α+β、or、2β=γ+α、or、2α=β+γ であるから (2γ-α-β)*(2β-γ-α)*(2α-β-γ)=0 ‥‥(3) α+β-2γ=(α+β+γ)-3α=-(3α+a)等より、(a+3α)*(a+3β)*(a+3γ)=a^3+3(α+β+γ)a^2+9(αβ+βγ+γα)a+27αβγ=0. 解と係数から、2a^3-9ab+216=0 → (2)から a^3-9a^2+108=0‥‥(4) (4)を因数分解すると、(a+3)*(a-6)^2=0 となる。 以下、省略。 こういう場合は、出来るだけ“対称性”を使った方が良い。

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その他の回答 (3)

  • izumi_pi
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回答No.4

文字化けしていてすみません。 式に番号を付けて、順に求めていきましょう。 等差数列より、2β=α+γ ―――(ア)  等比数列より、β^2=αγ ―――(イ) 解の公式より α+β+γ=-a ―――(ウ)  αβ+βγ+γα=b ―――(エ)  αβγ=-8 ―――(オ) とします。 (ア)と(ウ)より、3β=-a ―――(カ)  と(オ)より、β^3=-8 ―――(キ) (キ)より β=-2 がわかる。 そして、これを(カ)に代入して、 a=6 だとわかる。 β=-2 と a=6 を(ウ)(オ)に代入して、 α+γ=-4 ―――(ク)  αγ=4 ―――(ケ) となるので、(ク)(ケ)より、α=γ=-2 であることがわかります。 最後に(エ)に代入すれば、 b=12 となり、全て求めることができます。

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  • izumi_pi
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回答No.3

式に番号を付けて、順に求めていきましょう。 等差数列より、2β=α+γ ―――?  等比数列より、β^2=αγ ―――? 解の公式より α+β+γ=-a ―――?  αβ+βγ+γα=b ―――?  αβγ=-8 ―――? とします。 ?と?より、3β=-a ―――?  ?と?より、β^3=-8 ―――? ?より β=-2 がわかる。 そして、これを?に代入して、 a=6 だとわかる。 β=-2 と a=6 を???に代入して、 α+γ=-4 ―――?  αγ=4 ―――? となるので、??より、α=γ=-2 であることがわかります。 最後に?に代入すれば、 b=12 となり、全て求めることができます。

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  • izumi_pi
  • ベストアンサー率50% (1/2)
回答No.1

式に番号を付けて、順に求めていきましょう。 等差数列より、2β=α+γ ―――?  等比数列より、β^2=αγ ―――? 解の公式より α+β+γ=-a ―――?  αβ+βγ+γα=b ―――?  αβγ=-8 ―――? とします。 ?と?より、3β=-a ―――?  ?と?より、β^3=-8 ―――? ?より β=-2 がわかる。 そして、これを?に代入して、 a=6 だとわかる。 β=-2 と a=6 を???に代入して、 α+γ=-4 ―――?  αγ=4 ―――? となるので、??より、α=γ=-2 であることがわかります。 最後に?に代入すれば、 b=12 となり、全て求めることができます。

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