高次方程式

質問

nを整数とする。３次式x^3 -19x^2 +nx +84の因数分解を
x^3 -19x^2 +nx +84＝(x-α)(x-β)(x-γ)とする。
α、β、γが全て整数であるならば、α、β、γの値は小さいほうから順に　アイ、ウ、エオである。

という問題なのですが、
解と係数の関係より
α＋β＋γ＝19
αβ＋βγ＋γα＝n
αβγ＝－84
という式を出しましたが、これ以上進みません。

目標時間4分なのでそんなに難しくないのかもしれませんが、分かりません。

教えてください。

回答No.2

noname#231526 · ベストアンサー

α・β・γがみな整数で、αβγ＝－８４。
これが手掛かりです。
８４＝２・２・３・７ですが、
これを３つの数の積に分解するとき、３×７の２１をそのうちの１つの数とすると、１、４、２１か２、２、２１；１、２、４２；１、１、８４となり、条件を満たさないことは明白なので、３と７とは別々の数に含まれることになります。
そこで、１と３と７を基本として、２を二つ何処かへ掛けたものがα、β、γとなります。どれかに２を二つ掛ける（４を掛ける）なら、
４、３、７
１、１２、７
１、３、２８
の３通り、どれか２つにそれぞれ２を掛けるなら、
２、６、７
２、３、１４
１、６、１４
の３通り、合計６通りです。さらにどこか１箇所にマイナス、或は３箇所全部にマイナスです。
で、α＋β＋γ＝１９ですから、三箇所全部マイナスということはない。
だから上の６通りの組み合わせの数字で、２つを足して１つを引くと１９になる組み合わせを探します。
　結局、－１、６、１４で－１＋６＋１４＝１９となり、この組み合わせだけが、条件を満たすこともすぐに確認できます。
　穴埋めなら、細かい論理的記述や検証は必要ないので、目標時間４分というのも頷けます。記述式なら、ちょっと書き方が面倒そうなのでもう少し時間がほしいところです。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
明後日に黒板に回答を書かないといけないので助かりました。

回答No.5

R_Earl

α＋β＋γ＝19
αβγ＝－84
α、β、γが全て整数

この3つの条件から、3つの整数α、β、γを探します。
足して19になる整数の組み合わせから探すのは大変なので
（無限通りあるからです。）
まず○×△×□＝84となるような3つの整数を探します。
84を因数分解すれば、どんな数を使えばいいか
見当がつくと思います。
3つの整数を列挙したら、今度はその3つの数同士を足し引きして、
19になる組み合わせを探します。
ところでαβγは負の数なので、

i ) 3つの数のうち、1つだけマイナス
ii) 3つの数全部がマイナス

となりますが、α＋β＋γはプラスとなるので
3つの数全部がマイナスというのはありえません。
なので3つの数の組み合わせは、『2つが正の数で、1つが負の数』です。

で、試行錯誤した結果、-1、6、14という3つの数が出ました。

お礼

回答ありがとうござました。
素因数分解まで頭がまわりませんでした。

回答No.4

postro

＃１です。みつかりました
-1,6,14

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

adinat

センター試験っぽい問題なので、速く解くことを考えて、気取らないで回答の指針を書くと、
αβγが負だから、マイナスは3つか、1つ。ところが全部マイナスだと足して19にはなりえないから、α<0<β<γです。解答欄の形からγは二桁、βは一桁、αは負の一桁というのも想像がつくでしょう。あとはしらみつぶし。まずはα=-1としてみましょう。
α=-1　⇒β+γ=20、βγ=84
これって、β=6、γ=14という解を持ちますね。だからこれで終わり。たまたまα=-1でうまくいったけど、ダメのときは、-2,-3と確かめていきましょう。

お礼

adinatさんの予想通り、センター試験対策の問題集です。

回答ありがとうございました。

回答No.1

postro

α＋β＋γ＝19
αβγ＝－84
かけて-84になり、加えて19になるような３つの整数がどうしてもみつからない！！！
で、この問題は解くのをあきらめました。