3次方程式の解と係数の関係の問題です

質問

近畿大で出題された問題です。

3次方程式x^3+x^2+x+1=0の3つの解をα,β,γとすると、x^3+x^2+x+1=(x-α)(x-β)(x-γ)と因数分解できるから、
α+β+γ=-1
αβ+βγ+γα=1
αβγ=1である。
また、x^4=(x^3+x^2+x+1)(x-1)+1であるから、
α^4=β^4=(？)
α^5β+β^5γ+γ^5α=(？)である。

(？)の部分が分かりません。ちなみに、なぜx^4を考えているのかも分かっていません。

回答どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞x^4=(x^3+x^2+x+1)(x-1)+1であるから
x^4=(x-α)(x-β)(x-γ)(x-1)+1
x=αとおくとα^4=1・・・答
x=βとおくとβ^4=1・・・答
x=γとおくとγ^4=1
α^5β+β^5γ+γ^5α=αβ+βγ+γα=1・・・答
なぜx^4を考えているのかも分かっていません。
＞α^4=1、β^4=1、γ^4=1が得られるから。

お礼

理解出来ました！ありがとうございました！

回答No.1

f272

まず
x^3+x^2+x+1=(x-α)(x-β)(x-γ)
これのxにαやβを代入してね。

その上で
「x^4=(x^3+x^2+x+1)(x-1)+1であるから」
これのxにαやβを代入してみたら幸せになれると思うよ。

お礼

幸せになれました！ありがとうございました！