複素数と方程式の解の問題

質問

１次の2次式を複素数の範囲で因数分解せよ。

2x^2+2x+1

２2次方程式x^2+2x+3=0の2つの解をα、βとするとき、
β^2/α、α^2/βを解とする2次方程式を1つ作れ。

この2問はどうやってといたらいいですか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

１
2x^2+2x+1=0とおいて
2次方程式の解の公式から
x=(-1±√(1-2))/2=(-1±i)/2

したがって

2x^2+2x+1
=2{x+(1-i)/2}{x+(1+i)/2}
=(1/2)(2x+1-i)(2x+1+i)

2
2次方程式の解と係数の関係から
α+β=-2, αβ=3

(β^2/α)+(α^2/β)=(β^3 +α^3)/(αβ)
=(α+β){(α+β)^2-3αβ}/(αβ)
=-2(4-9)/3=10/3
(β^2/α)(α^2/β)=αβ=3

したがって、p=(β^2/α) q=(α^2/β)を2つの解とするxの2次方程式は
2次方程式の解と係数の関係
　p+q=10/3
　pq=3
から

　x^2 -(10/3)x+3=0

これでも良いが、係数を整数にするため3倍して整数係数の2次方程式とすると

　3x^2 -10x +9 =0 …（答え）

お礼

ありがとうございます＾＾

回答No.1

Tacosan

上は因数定理と解の公式を組み合わせるのが簡単. 下は解と係数の関係を使う.